【51Nod1584】加权约数和（数论）
题面
题解
要求的是$$sum_{i=1}nsum_{j=1}n max(i,j)sigma(ij)$$
这个(max)太讨厌了，直接枚举一半乘个二。
[2sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{i}isigma(ij)-sum_{i=1}^nisigma(i^2)
]
后面这一半可以直接预处理，只需要把(i)分解，可以做到调和级数的复杂度。
只考虑前面这一半，显然只需要考虑的是(sigma(ij))这个东西。
那么我们考虑在(i)中枚举一个约数，在(j)中枚举一个约数，然后把这两个约数合并一下，看看能不能让每个约数只被计算一次。
[sigma(ij)=sum_{u|i}sum_{v|j}[gcd(u,frac{j}{v})=1]uv
]
证明的话，大概就是我们的目标是让每个约数只被计算一次，首先在(i)中枚举一个约数肯定没有问题，在(j)中枚举一个质因数也没有问题。对于(uv)这个数而言，我们把只在(i)中有的因子和只在(j)中有的因子给丢掉，只考虑在(i,j)中都含有的因子(u',v')，对于一个数(uv)而言，可能算重的情况是(u')从(v')那里抢走了一个质因子，而此时(frac{j}{v})就会对应的乘上那个质因子，使得(gcd
eq 1)，所以每个数只会被计算一次。
有了这个式子就很好搞了，首先把这个式子换一个形式：
[sigma(ij)=sum_{u|i}sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]frac{uj}{v}
]
带回去得到：
[sum_{i=1}^n isum_{j=1}^isum_{u|i}sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]frac{uj}{v}
]
考虑对于每一个(i)分别计算答案，所以我们设
[egin{aligned}
f[n]&=nsum_{j=1}^nsum_{u|n}sum_{v|j}[gcd(u,v)=1]frac{uj}{v}\
&=nsum_{j=1}^n sum_{u|n}sum_{v|j}frac{uj}{v}sum_{k|u,k|v}mu(k)\
&=nsum_{j=1}^nsum_{k|n,k|j}mu(k)sum_{k|u,u|n}sum_{k|v,v|j}frac{uj}{v}\
&=nsum_{j=1}^nsum_{k|n,k|j}mu(k)(ksigma(frac{n}{k}))sigma(frac{j}{k})\
&=nsum_{k|n}mu(k)ksigma(frac{n}{k})sum_{i=1}^{n/k}sigma(i)
end{aligned}]
然后就是前缀和计算就行了。
所有东西可以线性筛，中间要求逆就直接快速幂了。。。。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 1000000007
#define MAX 1000100
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}
bool zs[MAX];
int pri[MAX],tot;
int mu[MAX],sig[MAX],ssig[MAX],pw[MAX],spw[MAX],dpw[MAX],dspw[MAX],dsig[MAX];
int f[MAX],s[MAX];
void Sieve(int n)
{
mu[1]=1;dsig[1]=sig[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!zs[i])
{
pri[++tot]=i,mu[i]=MOD-1;
sig[i]=i+1,pw[i]=i,spw[i]=i+1;
dsig[i]=dspw[i]=(1+i+1ll*i*i)%MOD;dpw[i]=1ll*i*i%MOD;
}
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j)
{
zs[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j])
{
mu[i*pri[j]]=MOD-mu[i];
sig[i*pri[j]]=1ll*sig[i]*sig[pri[j]]%MOD;
pw[i*pri[j]]=pri[j],spw[i*pri[j]]=1+pri[j];
dsig[i*pri[j]]=1ll*dsig[i]*dsig[pri[j]]%MOD;
dpw[i*pri[j]]=dpw[pri[j]];
dspw[i*pri[j]]=dspw[pri[j]];
}
else
{
mu[i*pri[j]]=0;
sig[i*pri[j]]=1ll*sig[i]*fpow(spw[i],MOD-2)%MOD*(spw[i]+pw[i]*pri[j])%MOD;
pw[i*pri[j]]=pw[i]*pri[j];
spw[i*pri[j]]=(spw[i]+pw[i]*pri[j])%MOD;
dspw[i*pri[j]]=(dspw[i]+1ll*dpw[i]*pri[j]%MOD+1ll*dpw[i]*pri[j]%MOD*pri[j]%MOD)%MOD;
dsig[i*pri[j]]=1ll*dsig[i]*fpow(dspw[i],MOD-2)%MOD*dspw[i*pri[j]]%MOD;
dpw[i*pri[j]]=1ll*dpw[i]*pri[j]%MOD*pri[j]%MOD;
break;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)dsig[i]=1ll*dsig[i]%MOD*i%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)ssig[i]=(ssig[i-1]+sig[i])%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(mu[i])
for(int j=i;j<=n;j+=i)
f[j]=(f[j]+1ll*mu[i]*i%MOD*sig[j/i]%MOD*ssig[j/i])%MOD;
f[i]=1ll*f[i]*i%MOD;s[i]=(s[i-1]+2ll*f[i]+MOD-dsig[i])%MOD;
}
}
int main()
{
Sieve(MAX-1);
int T=read();
for(int i=1;i<=T;++i)
printf("Case #%d: %d
",i,s[read()]);
return 0;
}