我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛"

upd：正在写一篇复习向的文章，之后贴链接，可以作为这篇文章的一个补充。
upd：写好啦，戳这里。新写的这篇复习向文章QwQ，可以当做一个补充来看吧。不过新写的文章也有我新的理解吧。

Part0

最近一直在搞这些东西
做了将近20道题目吧
也算是有感而发
写点东西记录一下自己的感受

如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛，请拿出纸笔，每个式子都自己好好的推一遍，理解清楚每一步是怎么来的，并且自己好好思考。

Part1莫比乌斯反演

莫比乌斯反演啥都没有，就只有两个式子（一般只用一个）
原来我已经写过一次了，再在这里写一次
就只写常用的那个吧

基本的公式

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对于一个函数(f(x))
设(g(x)=sum_{x|d}f(d))
那么

[f(x)=sum_{x|d}mu(frac{d}{x})g(d) ]

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这个有什么用？
似乎太有用了一点

随手搞道题目来说吧

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求$$sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]$$

这个东西很直接，
所以我们设$$f(x)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]$$

[g(x)=sum_{x|d}f(d) ]

根据莫比乌斯反演可以得到

[f(1)=sum_{1|d}mu(frac{d}{1})g(d)=sum_{i=1}^nmu(i)g(i) ]

(g(x))是什么东西？

[g(x)=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[x|gcd(i,j)] ]

直接把(x)除到上面去

[g(x)=sum_{i=1}^{n/x}sum_{j=1}^{m/x}[1|gcd(i,j)] ]

([1|gcd])显然成立的
所以(g(x)=[frac{n}{x}][frac{m}{x}])
可以(O(1))计算
所以，(f(1))可以(O(n))计算

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一起推下式子

莫比乌斯反演的套路太多了

我们再来看两道题目
Crash的数字表格
jzptab

这两题按照顺序看嗷

具体的过程直接看我博客里面写的东西

我们发现这两道题一模一样
但是下面的那道题目可以做到单次询问(O(sqrt n))

他多干了什么？？？
这个问题，我们自己再来重新推一下
不过找个容易点的东西

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[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j) ]

这个肯定没有前面我给的例子的莫比乌斯反演那么直接
但是我们观察一下，(gcd)的取值有哪些？？
(1～n)(假设(n<m))
那么，我们可以把(gcd)相同的项合并

所以，我们枚举(gcd)的值

[sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d] ]

后面的那一部分是不是想到了前面推出的东西？？？
所以先把(d)直接除上去

[sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{n/d}sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1] ]

(n/d)和(m/d)不要想太多，你就当成(x)和(y)

[sum_{i=1}^{x}sum_{j=1}^{y}[gcd(i,j)=1] ]

不就是上面推过的第一个例子？？

[=sum_{i=1}^xmu(i)[frac{x}{i}][frac{y}{i}] ]

把这一截放回我们要求的式子里面去

[sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{x}mu(i)[frac{x}{i}][frac{y}{i}] ]

把(x,y)还是写成原样吧

[sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{n/d}mu(i)[frac{n}{id}][frac{m}{id}] ]

是不是(n/d)可以数论分块
而在计算后面的东西的时候，(frac{n/d}{i})也可以数论分块？？
所以这个时候的复杂度是(O(n))
与之相对应的就是上面Crash的数字表格的(O(n))做法

可是，像下面那个(O(sqrt n))是怎么做的呢？

那我们就继续推一步
我们是不是可以直接对(frac{n}{id})分块呢？
所以，我们设(T=id)把(id)换一下

[sum_{d=1}^ndsum_{i=1}^{n/d}mu(i)[frac{n}{T}][frac{m}{T}] ]

这个时候，比较关键的一步
把(T)提出来

[sum_{T=1}^n[frac{n}{T}][frac{m}{T}]sum_{d|T}dmu(frac{T}{d}) ]

为什么是这个？？
我们来分析一波
首先每一个(T)一定对应([frac{n}{T}][frac{m}{T}])
这一项之和(T)有关，所以可以提出来

这个时候考虑对于每一个(T)，什么样的(i)和(d)会给他产生贡献呢？
最显然的一点，(d)是(T)的一个因数
看到上面的式子，我们不难发现会贡献一个(d)的什么东西
后面的是什么？(mu(i))
继续想想，既然(T=id)，我们枚举了一个(T)，
又知道(d)是(T)的一个因子了，所以(i=frac{T}{d})
所以，就有了上面把(T)拿出来的式子

前面的东西看起来可以数论分块
但是这样子后面的东西怎么办？
不可能(O(sqrt n))暴力枚举呀

没错，当然不需要暴力枚举
我们发现后面的东西也是一个积性函数（因为他是两个积性函数的狄利克雷卷积）
所以它是可以线性的筛出来的
到这里，前面对于(T)数论分块
后面的前缀和可以(O(n))线性筛预处理出来
此时单次询问整体的复杂度就是(O(sqrt n))

对了，不要思想江化
后面那个东西如果不能够直接线性筛
那就不要线性筛了，
只要复杂度允许，暴力筛也是很可以的

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其实，如果我们继续观察，很容易知道一点：
(sum_{d|T}dmu(frac{T}{d})=varphi(T))

upd:原来底下的证明是假的，已经删掉了，这里用容斥的方法很容易证明，考虑到(mu)是容斥系数就可以很容易的知道上述式子的组合意义。

我们知道((1*varphi)(i)=i)
还知道((1*mu)(i)=e)
其中(1)是(f(x)=1)
(e)是(f(x)=[x=1])
(id)是(f(x)=x)

所以这个东西当然可以线性筛啦。

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莫比乌斯反演差不多就到这里啦
我们经历的复杂度从(O(n^2))的暴力
推一步之后变成了(O(n))
再变成了(O(sqrt n))

莫比乌斯反演的关键步骤也就是两步
首先是化简式子，写成莫比乌斯反演的形式
然后就是怎么处理前缀和，数论分块等东西的问题

这些能够解决好，莫比乌斯反演的题目就很好解决啦

Part2线性筛

当然是怎么各种线性筛东西啦

线性筛最重要的一点：
每个数一定，也只会，被他的最小质因子给筛到
说白点，比如说(72=2*2*2*3*3)
他就会被他的最小质因子给筛到
也就是(2*36)时被筛到

所以，一般线性筛如果要存储其他的东西来筛的话
一定是记录最小质因子的东西

大概的写一下几个积性函数：

(mu)莫比乌斯函数

这个怎么筛应该都会吧

(varphi)欧拉函数

怎么筛应该也很明显吧。

(d)约数个数

这个怎么筛？
考虑唯一分解定理:
(x=prod p_i^{ai})
那么(d(x)=prod (ai+1))
记录一下最小质因子的个数
每次就先把原来的除掉，再把(+1)后的个数乘上就好啦

(sigma)约数和

还是唯一分解定理
(x=prod p_i^{ai})
(sigma(x)=prod (sum_{j=0}^{ai}p_i^j))
记录一下最小质因子的上面那个式子的和
以及这个因子的(ai)次幂
每次也是先除掉再乘上新的

(a^k) (k)次幂

把这个东西写进来，只是为了提醒一下
(a^k)这种东西是一个完全积性函数，也是可以丢进去筛的

(inv)乘法逆元

没啥，一样的，乘法逆元也是完全积性函数
蛤，我知道可以(O(n))递推
只是写一下而已

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我比较懒，不想把板子蒯过来
直接把ppl的链接给你们嗷（虽然他的代码风格我觉得很丑）

Part3杜教筛

来个栗子

线性筛(O(n))复杂度，美滋滋
好的，我知道了
来一个很(interesting)的题目？？？

[求sum_{i=1}^nmu(i)的值 ]

我当然知道你会线性筛
所以(n<=10^9)

杜教筛是蛤？

比如说。。
我们现在要求一个积性函数(f(i))的前缀和(S(i))
也就是说(S(n)=sum_{i=1}^nf(i))

现在很不好算呀
怎么办？？

这个时候，就来杜教筛套路一波

我再来找个积性函数(g(i))（不知道是啥）
让(g)和(f)做一个卷积

[(g*f)(i)=sum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d}) ]

再求一下卷积的前缀和

[sum_{i=1}^n(g*f)(i)=sum_{i=1}^nsum_{d|i}g(d)f(frac{i}{d}) ]

把(d)给提出来

[sum_{d=1}^ng(d)sum_{d|i}f(frac{i}{d}) ]

[sum_{d=1}^ng(d)sum_{i=1}^{n/d}f(i) ]

[sum_{d=1}^ng(d)S(frac{n}{d}) ]

如果仔细想想
我们就会有这个式子：

[g(1)S(n)=sum_{i=1}^ng(i)S(frac{n}{i})-sum_{i=2}^ng(i)S(frac{n}{i}) ]

前面的东西是狄利克雷卷积

[g(1)S(n)=sum_{i=1}^n(g*f)(i)-sum_{i=2}^ng(i)S(frac{n}{i}) ]

如果狄利克雷卷积的前缀和非常好算的话
那么我们就可以对后面的东西进行数论分块
然后递归计算。
提醒一句：
一定要记忆化，一定要记忆化，一定要记忆化

回到栗子

(sum_{i=1}^nmu(i))
把杜教筛的公式套路式子找过来蛤

[g(1)S(n)=sum_{i=1}^n(g*mu)(i)-sum_{i=2}^ng(i)S(frac{n}{i}) ]

看到了(mu)想一个积性函数，让他们的狄利克雷卷积前缀和很好算
我们知道

[sum_{d|i}mu(d)=[i=1]=e ]

也就是说

[(1*mu)=e ]

(e)的前缀和是啥？
当然是(1)了
所以，取(g(x)=1)

[S(n)=1-sum_{i=2}^nS(frac{n}{i}) ]

这样子的话，首先线性筛出一部分的(mu)的前缀和
然后来一波记忆化搜索美滋滋

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再来个栗子把
把上面的(mu)换成(varphi)
我们还是知道

[sum_{d|i}varphi(d)=i=id(i) ]

所以，如果是(varphi)的话
就令(g(x)=1)
所以，

[S(n)=frac{n*(n+1)}{2}-sum_{i=2}^nS(frac{n}{i}) ]

多好的套路

但是，不要被套路给套死啦
面对不同的函数
一定要考虑清楚(g)是啥
好的(g)能让你的程序更加好算

Part4我也不知道为什么要加上这一部分

好啦
上面好好地写了一下莫比乌斯反演和杜教筛
是不是觉得很简单

当然，莫比乌斯反演和杜教筛当然可以混在一起

莫比乌斯反演推柿子
杜教筛求前缀和
一点也不矛盾

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既然我也不知道最后这部分干啥
那就找一堆题目来吧
欢迎查我水表
算了
还是把水表给你们把
莫比乌斯反演的水表
杜教筛的水表

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最后，说几句话
不要因为有了杜教筛和线性筛
就天天想着怎么筛
筛不了就滚去写暴力
埃氏筛法很不错
暴力枚举因数也很不错

最后，一句最经典的话作为结尾

骗分过样例，暴力出奇迹