SA 后缀数组

SA 后缀数组

首先一定要确定(SA)是个什么东西
(SA[i])表示的是排名为(i)的后缀是哪一个
至于后缀(i)的排名是多少，那个是(rank[i])

---

当然啦
最最最难懂的就是基数排序
要是不用基数排序，每次对于一个二元组直接(sort)一下
这样的复杂度是(O(nlog^2))

对于二元组的基数排序应该是这样做的：
首先把所有元素按照最后一维丢到依次对应的桶里面
然后顺次取出
再按照第一维依次丢入
再顺次取出
这样就可以排序啦

---

先把代码丢出来

bool cmp(int i,int j,int k){return y[i]==y[j]&&y[i+k]==y[j+k];}
void GetSA()
{
	int m=30;
	for(int i=1;i<=n;++i)t[x[i]=a[i]]++;
	for(int i=1;i<=m;++i)t[i]+=t[i-1];
	for(int i=n;i>=1;--i)SA[t[x[i]]--]=i;
	for(int k=1;k<=n;k<<=1)
	{
		int p=0;
		for(int i=0;i<=m;++i)y[i]=0;
		for(int i=n-k+1;i<=n;++i)y[++p]=i;
		for(int i=1;i<=n;++i)if(SA[i]>k)y[++p]=SA[i]-k;
		for(int i=0;i<=m;++i)t[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)t[x[y[i]]]++;
		for(int i=1;i<=m;++i)t[i]+=t[i-1];
		for(int i=n;i>=1;--i)SA[t[x[y[i]]]--]=y[i];
		swap(x,y);
		x[SA[1]]=p=1;
		for(int i=2;i<=n;++i)x[SA[i]]=cmp(SA[i],SA[i-1],k)?p:++p;
		if(p>=n)break;
		m=p;
	}
}

首先，第一次做(k=0)时
相当于每个后缀的第二维都是一样的
所以，直接按照第一维（也就是自己的值）
进行一次基数排序

接下来
每次基数排序都要利用到上一次的值

还记得吧，基数排序是先按照第二维从小往大拍
那么，我们就先把第二维的顺序搞出来
首先最小的一定就是没有第二维的东西
所以我们先把这些数直接丢进数组里面
接下来就是有第二维的东西啦
第(i)位的第二维是啥？(rank[i+k])
所以，从小到达枚举(SA)，这样保证第二维从小往大
那么，只要(SA[i]>k)
就证明它是一个东西的第二维
所以，把(SA[i]-k)丢到数组里面去就好啦

这样的话，按照第二维就拍好啦
再来依次按照第一维丢到桶里面去
做一遍基数排序就好啦
这样就能够求出(SA)啦

看起来很简单诶。。
只是数组不要搞混了
一定搞清楚每个数组是干啥的
比如我的代码
(SA)是后缀数组，(SA[i])表示排名为(i)的串是哪一个
(rank)相当于排名，(rank[i])表示第(i)个串的排名
(x,y)两个数组是记录顺序的
分别记录第一维和第二维的排序的顺序
(t)是桶

这样我们就很愉快的求出了(SA)
还有一个数组(Height)
(Height[i])表示串(SA[i])与(SA[i-1])的最长公共前缀的长度
比如说，现在要求后缀(i)与(j)的最长公共前缀
那就只需要求(min(Height[i]),i in [rank[i]+1,rank[j]])
因为已经按照字典序排好序啦

(Height)显然可以暴力求
但是太不优美
我们有(Height[rank[i]]>=Height[rank[i-1]]-1)
证明（来自(hihoCoder))

设(suffix(k))是排在(suffix(i-1))前一名的后缀，
则它们的最长公共前缀是(height[rank[i-1]])
那么(suffix(k+1))将排在(suffix(i))的前面（这里要求(height[rank[i-1]]>1)，如果(height[rank[i-1]]≤1)，原式显然成立）
并且(suffix(k+1))和(suffix(i))的最长公共前缀是(height[rank[i-1]]-1)，
所以(suffix(i))和在它前一名的后缀的最长公共前缀至少是(height[rank[i-1]]-1)

那么，我们按照(rank)的顺序来求(Height)就行啦

	for(int i=1;i<=n;++i)Rank[SA[i]]=i;
	for(int i=1,j=0;i<=n;++i)
	{
		if(j)j--;
		while(a[i+j]==a[SA[Rank[i]-1]+j])++j;
		height[Rank[i]]=j;
	}

---

我现在也不是很熟
以后多做点题我再接着补