BSGS算法
我是看着(ppl)的博客学的，您可以先访问(ppl)的博客
Part1 BSGS算法
求解关于(x)的方程
[y^x=z(mod p)
]
其中((y,p)=1)
做法并不难，我们把(x)写成一个(am-b)的形式
那么，原式变成了
(y^{am}=zy^b(mod p))
我们求出所有(b)可能的取值(0~m-1)，并且计算右边的值
同时用哈希或者(map)之类的东西存起来，方便查询
对于左边，我们可以枚举所有可能的(a)，然后直接查右边的值有没有相等的即可
复杂度是(O(max(m,p/m)))
不难证明(m=sqrt(p))时复杂度最优
所以(bsgs)算法的复杂度是(O(sqrt(p)))
模板题：(SDOI2011) 计算器
关键代码：
int m=sqrt(p)+1;Hash.Clear();
for(RG int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.Insert(t,i);
for(RG int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=tt;i<=m+1;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
int k=Hash.Query(t);if(k==-1)continue;
printf("%d
",i*m-k);return;
}
使用(map)会多个(log)，在洛谷上我写的(Hash)目前是跑得最快的。。。
Part2 拓展BSGS
假设(gcd(y,p)
eq 1)怎么办？
令(d=gcd(y,p))
将方程改写成等式形式
[y^x+kp=z
]
发现此时的(z)必须要是(d)的倍数，否则无解。
因此，除掉(d)
[frac{y}{d}y^{x-1}+kfrac{p}{d}=frac{z}{d}
]
这样前面的(y/d)就是一个系数了，
不断检查(gcd(frac{z}{d},y))，一直除到互质为止
此时的形式就变成了
[frac{y^k}{d}y^{x-k}=frac{z}{d}(mod frac{p}{d})
]
这样子(bsgs)求解之后在还原回去就行了。
模板:SPOJ Power Modulo Inverted
关键代码
void ex_BSGS(int y,int z,int p)
{
if(z==1){puts("0");return;}
int k=0,a=1;
while(233)
{
int d=__gcd(y,p);if(d==1)break;
if(z%d){NoAnswer();return;}
z/=d;p/=d;++k;a=1ll*a*y/d%p;
if(z==a){printf("%d
",k);return;}
}
Hash.clear();
int m=sqrt(p)+1;
for(int i=0,t=z;i<m;++i,t=1ll*t*y%p)Hash.Insert(t,i);
for(int i=1,tt=fpow(y,m,p),t=1ll*a*tt%p;i<=m;++i,t=1ll*t*tt%p)
{
int B=Hash.Query(t);if(B==-1)continue;
printf("%d
",i*m-B+k);return;
}
NoAnswer();
}