【BZOJ2339】卡农（递推，容斥）
题面
题解
先简化一下题意：
在([1,2^n-1])中选择不重复的(m)个数，使得他们异或和为(0)的方案数。
我们设(f[i])表示选择(i)个数异或和为(0)的方案数。
直接算是很麻烦的，所以我们反过来，总数减去不合法的。
因为确定了前(i-1)个数最后一个数就已经知道了。
所以总方案数是(A_{2^n-1}^{i-1})，不合法的有两种，一种是选择了(0)，一种是有重复。
选择了(0)，意味着前(i-1)个数的异或和为(0)，所以方案数是(f[i-1])种。
有重复，我们枚举哪个数重复了，那么剩下的(i-2)个数的异或和仍然为(0)
所以方案数是(f[i-2] imes (2^n-1-(i-2)))，题目没有考虑顺序，但是我们计算的时候先考虑了顺序，所以这里的方案数还需要考虑在哪个位置，也就是再乘上一个((i-1))
所以$$f[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-f[i-1]-(i-1) imes f[i-2] imes(2^n-1-(i-2))$$
最终的答案再把顺序的问题处理一下就好了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 100000007
#define MAX 1000100
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int jv=1,A[MAX],n,m,p,f[MAX];
int fpow(int a,int b)
{
int s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
int main()
{
n=read();m=read();p=fpow(2,n);f[0]=A[0]=1;f[1]=0;
for(int i=1;i<=m;++i)jv=1ll*jv*i%MOD;jv=fpow(jv,MOD-2);
for(int i=1;i<=m;++i)A[i]=1ll*A[i-1]*(p-i+MOD)%MOD;
for(int i=2;i<=m;++i)f[i]=((A[i-1]-f[i-1]+MOD)%MOD-1ll*f[i-2]*(i-1)%MOD*(p-1-(i-2)+MOD)%MOD+MOD)%MOD;
printf("%lld
",1ll*jv*f[m]%MOD);
return 0;
}