【BZOJ2138】stone（线段树，Hall定理）
题面
题解
考虑一个暴力。
我们对于每堆石子和每个询问，显然是匹配的操作。
所以可以把石子拆成(a_i)个，询问点拆成(K_i)个，这样就是每次进行一次二分图的匹配。
当然可以用网络流+线段树优化连边来做，但是这样复杂度太高。
还是回到二分图的匹配问题，我们现在要验证的就是是否存在对于当前询问点的完美匹配。
关于完美匹配，有(Hall)定理，如果存在完美匹配，假设左侧的点有(|X|)个，那么这些点连向右边的点的点集的并(Y)，满足(|X|le |Y|)
因为询问点拆开后，每个点的连向右边的点集都是一样的，所以相当于就是(K_ile|Y|)
只提取出所有有用的石子，按顺序编号。设(s_i)表示前(i)堆石子的个数和。
如果存在完美匹配，那么在任意时刻，所有存在于区间([L,R])之内的询问的石子个数的总和(T[L,R])一定小于区间([L,R])之内的石子的总和。
也就是(s_R-s_{L-1}ge T[L,R])，发现题目中的性质，任何询问不存在包含关系。
那么我们假设(TL_i)表示左端点在([1,i])中的询问的总和，(TR_i)表示右端点在([1,i])中的询问的总和。
那么因为(T[L,R]=TR_R-TL_{L-1})，所以我们也可以很容易的表示出(T)来。
所以，现在的不等式表达为(s[R]-s[L-1]ge TR[R]-TL[L-1])
所以(s[R]-TR[R]ge s[L-1]-TL[L-1])
设(f[i]=s[i]-TR[i],g[i]=s[i]-TL[i])，所以是(f[R]ge g[L-1])
我们发现，如果从([L,R])区间中拿走若干石头，在不等式中变化的只有(TR[R])
也就是只有(f[i])会减小。所以我们能够拿走的数量为(min(K[i],f[R]-g[L-1]))
对于当前询问区间([L,R])，会对于所有的(xin [1,L],yin [R,n],[x,y])产生影响
也就是任何包含当前区间的区间也需要满足(Hall)定理，在本题中也就是(f[y]ge g[x])
那么当前步的答案就是所有的(min(K[i],f[y]-g[x]))，那么取后缀(f)最小值，前缀(g)最大值即可。
每次拿线段树区间更新一下即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 40040
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
inline int read()
{
RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return x*t;
}
int n,m,a[MAX],K[MAX],s[MAX];
struct SegMentTree_Max
{
int t[MAX<<2],tag[MAX<<2];
void puttag(int now,int w){t[now]+=w;tag[now]+=w;}
void pushdown(int now,int l,int r){puttag(lson,tag[now]);puttag(rson,tag[now]);tag[now]=0;}
void Build(int now,int l,int r)
{
if(l==r){t[now]=s[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
t[now]=max(t[lson],t[rson]);
}
void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int w)
{
if(L<=l&&r<=R){puttag(now,w);return;}
int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,w);
if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,w);
t[now]=max(t[lson],t[rson]);
}
int Query(int now,int l,int r,int L,int R)
{
if(L>R)return 0;if(L<=l&&r<=R)return t[now];
int mid=(l+r)>>1,ret=0;pushdown(now,l,r);
if(L<=mid)ret=max(ret,Query(lson,l,mid,L,R));
if(R>mid)ret=max(ret,Query(rson,mid+1,r,L,R));
return ret;
}
}G;
struct SegMentTree_Min
{
int t[MAX<<2],tag[MAX<<2];
void puttag(int now,int w){t[now]+=w;tag[now]+=w;}
void pushdown(int now,int l,int r){puttag(lson,tag[now]);puttag(rson,tag[now]);tag[now]=0;}
void Build(int now,int l,int r)
{
if(l==r){t[now]=s[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
t[now]=min(t[lson],t[rson]);
}
void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int w)
{
if(L<=l&&r<=R){puttag(now,w);return;}
int mid=(l+r)>>1;pushdown(now,l,r);
if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,w);
if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,w);
t[now]=min(t[lson],t[rson]);
}
int Query(int now,int l,int r,int L,int R)
{
if(L>R)return 0;if(L<=l&&r<=R)return t[now];
int mid=(l+r)>>1,ret=1e9;pushdown(now,l,r);
if(L<=mid)ret=min(ret,Query(lson,l,mid,L,R));
if(R>mid)ret=min(ret,Query(rson,mid+1,r,L,R));
return ret;
}
}F;
int main()
{
freopen("stone.in","r",stdin);
freopen("stone.out","w",stdout);
n=read();int X=read(),Y=read(),Z=read(),P=read();
for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=a[i]=(1ll*(i-X)*(i-X)%P+1ll*(i-Y)*(i-Y)%P+1ll*(i-Z)*(i-Z)%P)%P;
for(int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1];
m=read();K[1]=read(),K[2]=read(),X=read(),Y=read(),Z=read(),P=read();
for(int i=3;i<=m;++i)K[i]=(1ll*K[i-1]*X%P+1ll*K[i-2]*Y%P+Z)%P;
if(!m)return 0;G.Build(1,1,n);F.Build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int l=read(),r=read();
K[i]=min(K[i],F.Query(1,1,n,r,n)-G.Query(1,1,n,1,l-1));
F.Modify(1,1,n,r,n,-K[i]);G.Modify(1,1,n,l,n,-K[i]);
printf("%d
",K[i]);
}
return 0;
}