中国剩余定理 CRT

中国剩余定理 CRT

正常版本CRT

要解的是一个很容易的东西

[egin{aligned} xequiv a_1(mod m_1)\ xequiv a_2(mod m_2)\ ...\ xequiv a_n(mod m_n) end{aligned} ]

保证(m_1,m_2...m_n)之间两两互质，求最小的(x)。

设(M=prod m_i)。

首先我们确定一点，我们求出了任意一个满足条件的(x)之后，只需要对其模(M)就是最终的答案。

因为(M)是所有数的(lcm)。

考虑一下，对于每一个(a_i)，如果我们能够求出一个数(x_i)

满足它是其他所有(m)的乘积，即(M_i=M/m_i)的倍数，并且(x_iequiv 1(mod m_i))

也就是对于任意一个(x_i)，满足(x_iequiv 0(mod m_k),k e i)，(x_iequiv 1(mode m_i))

那么最终的答案就会是(sum(a_ix_i)mod M)。

深思熟虑的考虑如何求出(x_i)，

因为(x_i)是(M_i)的倍数，所以(x_i=kM_iequiv 1(mod m_i))

所以(k)是(M_i)在模(m_i)意义下的逆元。所以(x_i)就是(k)的(M_i)倍，注意最终统计入结果的模数是(M)。

所以，(CRT)的结果就是(sum (a_ik_iM_i)mod M)。

不正常版本CRT

要求的东西同上，不保证所有(m_i)互质。

我们肯定不能像上面那样堆在一起求了。

换个方法，假设我们只有两个方程。(xequiv a_1(mod m_1),xequiv a_2(mod m_2))

怎么算答案？

显然是要满足:(x=x_1m_1+a_1=x_2m_2+a_2)，并且(x)最小。

显然是(x_1,x_2)都要尽可能的小。

所以(x_1m_1+x_2m_2=a_2-a_1)

那么(exgcd)可以求解最小的(x_1)，然后就可以求得(x=x_1m_1+a_1)

这样子就可以同时满足这两个方程了，因为方程有多个，

所以我们把这两个方程合并，假设当前求出来的解是(x')

那么我们就新加入一个方程(xequiv x'(mod lcm(m_1,m_2)))就好了。