【BZOJ4559】成绩比较（动态规划，拉格朗日插值）
题面
题解
显然可以每门课顺次考虑，
设(f[i][j])表示前(i)门课程(zsy)恰好碾压了(j)个(yyb)的方案数。
那么，思考转移，显然是原来碾压了(k)个人，但是在考虑到这一门课程的时候有些人没被碾压了，
所以转移就是(f[i][j]=f[i-1][k]*C_k^j*C_{n-k-1}^{n-rank[i]-j}*P[i])
大致的含义就是，原先(zsy)碾压了(k)个人，但是现在(zsy)只碾压了(j)个蒟蒻(yyb)，
因为有(k-j)个神犇(ppl)在这门课程上的得分吊打了(zsy)。
先找出来哪些是(j)个蒟蒻(yyb)中的一员，并且被(zsy)被碾压了，方案数是(C_k^j)，
由于之前有(k)个人钦定被(zsy)吊打，所以还剩下(n-k-1)个人，
然而有(j)个蒟蒻(yyb)仍然钦定被(zsy)吊打，所以剩下的人里面要找些人把被(zsy)吊打的人数给填满，要不然(zsy)会不开森。
还差多少个被吊打的人呢？一共是(n-rank[i])个被吊打名额，有(j)个蒟蒻(yyb)被钦定了，所以还剩下(n-rand[i]-j)个名额。
所以就得到了上面的转移。。。。吗？
后面那个(P)是啥玩意？
你现在不是已经钦定好了这些人的相对排名了吗，然而我们并不知道分数是多少。
所以(P[i])表示的是给所有人钦定([1,U[i]])之间的分数的方案数。
(U)这么大，明显不让人活了，所以假装拉格朗日插值一下是对的。
(P)是个啥玩意呢？
(P=sum_{i=1}^Ui^{n-rank}*(U-i)^{rank-1})
什么意思？钦定一下(zsy)的分数是(i)，那么所有被(zsy)吊打的人的选择就只有([1,i])，
而总共有(n-rank)个人被吊打，而剩下的人分数比(zsy)高，所以被钦定为([i+1,U])，一共((U-i))种方法，总共(rank-1)个人，大力插值一波假装是对的就好了。
然而我嫌插值太慢，去网上蒯（抄）了一种神仙做法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 150
#define MOD 1000000007
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b)
{
int s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=MOD)x-=MOD;}
int n,m,K,u[MAX],rk[MAX],f[MAX][MAX],P[MAX],g[MAX];;
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){if(n<0||m<0||m>n)return 0;return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
n=read();m=read();K=read();
for(int i=1;i<=m;++i)u[i]=read();
for(int i=1;i<=m;++i)rk[i]=read();
jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
g[0]=u[i];
for(int j=1;j<=n;++j)
{
g[j]=(fpow(u[i]+1,j+1)-1+MOD)%MOD;
for(int k=0;k<j;++k)add(g[j],MOD-(1ll*C(j+1,k)*g[k]%MOD));
g[j]=1ll*g[j]*fpow(j+1,MOD-2)%MOD;
}
int inv=fpow(u[i],MOD-2),v=fpow(u[i],rk[i]-1),d=1;
for(int j=0;j<rk[i];++j,d=MOD-d,v=1ll*v*inv%MOD)
add(P[i],1ll*C(rk[i]-1,j)*d%MOD*v%MOD*g[n-rk[i]+j]%MOD);
}
f[0][n-1]=1;
for(int i=1;i<=m;++i)
for(int j=K;j<=n;++j)
for(int k=j;k<=n;++k)
add(f[i][j],1ll*f[i-1][k]*C(k,j)%MOD*C(n-k-1,n-rk[i]-j)%MOD*P[i]%MOD);
printf("%d
",f[m][K]);
return 0;
}