【BZOJ1925】[SDOI2010]地精部落（动态规划）
题面
题解
一道性质(dp)题。（所以当然是照搬学长PPT了啊
先来罗列性质，我们称题目所求的序列为抖动序列：
- 一个抖动序列的连续子序列还是一个抖动序列。
- 如果在一个抖动序列中(x)与(x+1)不相邻，那么交换两者的位置这个序列仍是抖动序列。
- 如果将一个抖动序列中所有大于(x)的元素全部(+1)，那么这个序列仍然是抖动序列。
- 一个([1,x])的抖动序列可以映射到一个([y-x+1,y])的抖动序列。
上面的性质都比较显然。证明什么的感性理解一下就好了。
现在来写(dp)。
设(f[i][j])表示([1,i])构成的排列中，第一个数为(j)的抖动序列的个数，并且强制第一个数大于第二个数，即第一个位置上是一个峰。
第一个数这已经确定，现在考虑第二个位置上的数。
如果这个数不是(j-1)，那么我们必定可以交换(j)以及(j-1)，不难发现这样子是一一对应的，也就是(f[i][j]leftarrow f[i][j-1])
否则这个数是(j-1)。那么我们先把第一个(j)个忽视掉，剩下的部分的值是([1,j-1]cup[j+1,i])，那么我们这样子想，我们只需要剩下的这些值离散，变成了([1,i-1])，然后构成了一个以(j-1)开头的抖动序列，再把([j+1,i-1])这一段全部加一，最后再把(j)放回到开头，这样子就可以得到一个抖动序列了。但是我们似乎没法直接从(f[i-1][j-1])转移过来，因为在上述状态中(j-1)是一个峰，但是在(f[i][j])的状态中，(j-1)是一个谷。然而并没有什么关系，我们用上面的最后一个结论，把所有的数全部映射一下，即(j-1)映射到(i-j+1)。那么就可以得到(f[i][j]leftarrow f[i-1][i-j+1])
那么这样子就可以(dp)了，转移方程是(f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1])
那么答案就是(sum f[n][i])啦，但是别忘了这样子强制了第一个位置是峰，再映射一下，发现还要乘个二就可以把谷的贡献给算进来啦。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,MOD,f[2][4250],ans;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&MOD);f[0][1]=1;
for(int i=1,nw=1,pw=0;i<=n;++i,nw^=1,pw^=1)
for(int j=1;j<=i;++j)
f[nw][j]=(f[nw][j-1]+f[pw][i-j+1])%MOD;
for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+f[n&1][i])%MOD;
ans=(ans+ans)%MOD;printf("%d
",ans);
return 0;
}