luogu P3928 SAC E#1

P3928 SAC E#1 - 一道简单题 Sequence2

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题目背景

小强和阿米巴是好朋友。

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题目描述

小强喜欢数列。有一天，他心血来潮，写下了三个长度均为n的数列。

阿米巴也很喜欢数列。但是他只喜欢其中一种，波动数列。

阿米巴把他的喜好告诉了小强。小强便打算找出这三个数列内的最长波动数列。

也就是说，如果我们将三个数列记做a[n][3]，他必须要构造一个二元组序列：<p[i], q[i]>，使得对于任何 i>1 有：

p[i] > p[i-1]

若q[i] = 0，a[p[i]][q[i]] >= a[p[i-1]][q[i-1]]

若q[i] = 1，a[p[i]][q[i]] <= a[p[i-1]][q[i-1]]

若q[i] = 2，只要保持段内同向即可（就是对于连续的一段q[i]=2，要么都有a[p[i]][q[i]] >= a[p[i-1]][q[i-1]]，要么都有a[p[i]][q[i]] <= a[p[i-1]][q[i-1]]）。

小强希望这个二元组序列尽可能长。

提示：当q[i] != q[i-1]时，数列的增减性由q[i]而非q[i-1]决定。

清晰版题目描述

小强拿到一个3×n的数组，要在每一列选一个数（或者不选），满足以下条件：

1.如果在第一行选，那它必须大于等于上一个数

2.如果在第二行选，那么必须小于等于上一个数

3.如果在第三行选，对于连续的一段在第三行选的数，必须满足方向相同（都小于等于上一个数或者都大于等于上一个数）

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输入输出格式

输入格式：

输入包含4行。

第一行一个数n，表示数列长度。

第2、3、4行，每行n个整数，分别表示三个数列。

输出格式：

输出仅包含一个整数，即最长波动数列的长度。

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输入输出样例

输入样例#1：

6
1 2 3 6 5 4
5 4 3 7 8 9
1 2 3 6 5 4

输出样例#1：

6

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说明

对于20%的数据，n <= 10， m <= 1000

对于60%的数据，n <= 1000, m <= 1000

对于100%的数据， n <= 100000， m <= 1000000000

其中m = max|a[i]|

样例解释：

取第三行1 2 3（增），然后取第1行6（增），然后取第三行5 4（减），长度为6。

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线段树+dp

设 dp_(i,k) 表示：第 i 个位置选择第k个序列的数，前 i 个位置 所能构成的最长子序列的长度。

于是我们有一下4个状态,对于每一个位置i

k=0选择第一行
k=1选第二行。
k=2选第三行,且大于等于前一个数
k=3选第三行,且小于等于前一个数

那么根据题意,对于2,3,两个状态,他们不能相互转移.所以我们有

dp[i][0]=dp[0~i-1][0~3]+1   (a[j][k]<=a[i][0]);
dp[i][1]=dp[0~i-1][0~3]+1   (a[j][k]>=a[i][1]);
dp[i][2]=dp[0~i-1][0,1,2]+1   (a[j][k]<=a[i][2]);
dp[i][3]=dp[0~i-1][0,1,3]+1   (a[j][k]>=a[i][3]);

那么我们还是发现会T  TAT

于是就考虑优化第二维j的循环。

现在对于每一个转移a[i][?]我们都要找到一个dp值最大的a[j][k]其中a[j][k]满足转移;

于是n很小,就可以把数据离散后放进线段树中.对于dp的每一维建立一个线段树,储存当前以为最后一个选择为(选择数)最大所能到达的dp值。

bel当前属于第几维的dp(查询&&修改)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100000+233;
inline int read(){
    int an=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while('0'<=ch&&ch<='9'){an=an*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return an*f;
}
int dp[maxn][5],n,ans;
int a[maxn][5],tot,cnt,id[maxn<<2];
struct saber{
int ma[6];
int l,r;
}tr[maxn<<4];
void prepare(){
    n=read();
    for(int j=0;j<=2;j++)
        for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i][j]=read();tot++;id[tot]=a[i][j];}
    sort(id+1,id+1+tot);
    cnt=unique(id+1,id+1+tot)-id;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=2;j++)
    a[i][j]=lower_bound(id+1,id+cnt,a[i][j])-id+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i][3]=a[i][2];
}
void build(int k,int l,int r){
    tr[k].l=l;tr[k].r=r;
    if(l==r)return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
}
int ask(int bel,int k,int x,int y){
    int l=tr[k].l,r=tr[k].r;
    if(l==x&&r==y)return tr[k].ma[bel];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(y<=mid)ask(bel,k<<1,x,y);
    else if(x>mid)ask(bel,k<<1|1,x,y);
    else return max( ask(bel,k<<1,x,mid),ask(bel,k<<1|1,mid+1,y) );
}
void add(int bel,int k,int poi,int wi){
    int l=tr[k].l,r=tr[k].r;;
    if(poi==l&&poi==r){
    tr[k].ma[bel]=max(wi,tr[k].ma[bel]);
    return ;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(poi<=mid)add(bel,k<<1,poi,wi);
    else add(bel,k<<1|1,poi,wi);
    tr[k].ma[bel]=max(tr[k<<1].ma[bel],tr[k<<1|1].ma[bel]);
}
void DP(){
    build(1,1,cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int k=0;k<4;k++){
            dp[i][0]=max(ask(k,1,1,a[i][0])+1,dp[i][0]);//查询小于等于
            dp[i][1]=max(ask(k,1,a[i][1],cnt)+1,dp[i][1]);//后面大于等于
            if(k!=3)
            dp[i][2]=max(ask(k,1,1,a[i][2])+1,dp[i][2]);
            if(k!=2)
            dp[i][3]=max(ask(k,1,a[i][3],cnt)+1,dp[i][3]);
            }
            add(0,1,a[i][0],dp[i][0]);
            add(1,1,a[i][1],dp[i][1]);
            add(2,1,a[i][2],dp[i][2]);
            add(3,1,a[i][3],dp[i][3]);
        }
    for(int i=0;i<4;i++)
    ans=max(ans,dp[n][i]);
}
int main(){
    prepare();
    DP();
    cout<<ans;
}

by:s_a_b_e_r

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楼上dalao好厉害，表示我只会树状数组。

↑抄自s某一篇题解里的第一句话，接着这个题他就写了个线段树>_< 

这里补个树状数组的做法

开4*2个树状数组，表示四种情况*升序/降序

每次转移升序时查询升序的树状数组里小于a[i][j]的最大dp值

降序时查询大于a[i][j]的，即在降序树状数组里查询小于n-a[i][j]+1的最大dp值

每波dp过后记得更新树状数组和答案

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100009,inf=1e9+7;
int n,a[N][5],b[N<<2],ans;
int t[N<<2][4][2],cnt,dp[N][5];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x,int v,int p,int q){
    while(x<=cnt)
    {
        t[x][p][q]=max(t[x][p][q],v);
        x+=lowbit(x);
    }
}
int ask(int x,int p,int q){
    int re=0;
    while(x)
    {
        re=max(re,t[x][p][q]);
        x-=lowbit(x);
    }
    return re;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int k=0;k<3;++k)
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i][k]);
        b[++cnt]=a[i][k];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)a[i][3]=a[i][2];
    sort(b+1,b+cnt+1);
    cnt=unique(b+1,b+cnt+1)-b-1;
    for(int k=0;k<4;++k)
    for(int i=1;i<=n;++i)
        a[i][k]=lower_bound(b+1,b+cnt+1,a[i][k])-b;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int k=0;k<4;++k){
            dp[i][0]=max(dp[i][0],ask(a[i][0],k,0)+1);
            dp[i][1]=max(dp[i][1],ask(cnt-a[i][1]+1,k,1)+1);
            if(k!=3)dp[i][2]=max(dp[i][2],ask(a[i][2],k,0)+1);
            if(k!=2)dp[i][3]=max(dp[i][3],ask(cnt-a[i][3]+1,k,1)+1);
        }
        for(int k=0;k<4;++k){
            add(a[i][k],dp[i][k],k,0);
            add(cnt-a[i][k]+1,dp[i][k],k,1);
        }
        ans=max(ans,max(dp[i][0],max(dp[i][1],max(dp[i][2],dp[i][3]))));
    }
    cout<<ans;
    return 0;
} 

by:wypx

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