洛谷 P4093 [HEOI2016/TJOI2016]序列

题目描述

佳媛姐姐过生日的时候，她的小伙伴从某宝上买了一个有趣的玩具送给他。玩具上有一个数列，数列中某些项的值可能会变化，但同一个时刻最多只有一个值发生变化。现在佳媛姐姐已经研究出了所有变化的可能性，她想请教你，能否选出一个子序列，使得在任意一种变化中，这个子序列都是不降的？请你告诉她这个子序列的最长长度即可 。

注意：每种变化最多只有一个值发生变化。在样例输入1中，所有的变化是：

1 2 3
2 2 3
1 3 3
1 1 3
1 2 4
选择子序列为原序列，即在任意一种变化中均为不降子序列在样例输入2中，所有的变化是:

3 3 3
3 2 3
选择子序列为第一个元素和第三个元素，或者第二个元素和第三个元素，均可满足要

输入输出格式

输入格式：
输入的第一行有两个正整数n, m，分别表示序列的长度和变化的个数。接下来一行有n个数，表示这个数列原始的状态。接下来m行，每行有2个数x, y，表示数列的第x项可以变化成y这个值。1 <= x <= n。

输出格式：
输出一个整数，表示对应的答案

输入输出样例

输入样例#1：
3 4
1 2 3
1 2
2 3
2 1
3 4
输出样例#1：
3
说明

对于20%数据所有数字均为正整数，且小于等于300

对于50%数据所有数字均为正整数，且小于等于3,000

对于100%数据所有数字均为正整数，且小于等于100,000

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我们设(maxv_i)为第(i)个数变化的最大值;(minv_i)为第(i)个数变化的最小值,(a_i)位原来的数值

则题目要求转化为,求一个最长的序列,使一下条件满足

• (j<i)
• (max(a_j,maxv_j) le a_i)
• (a_jle min(a_i,minv_i))

那这种不等式问题就能转化为二维数点问题

对于每一个j,我们每一次就可以在平面内加一个坐标为((maxv_j,a_j))的权值为(dp_j)点,对于每一次转移,可以从((0,0))到((a_i,minv_i))中找到一个点权最大的点,当前点答案就是找到点的权值+1。

找点就能用很多数据结构维护,cdq分制树套树,k-d tree都可以,这里我用了树状数组套treap,相比于套动态开点线段树,平衡树比线段树空间更小,空间复杂度(O(nlogn))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<bitset>
using namespace std;
const int maxn=150000+23333;
typedef long long ll;
inline int read(){
    int an=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){an=an*10+(ch^48);ch=getchar();}
    return an*f;
}
/*
j<i
a_j<a_i
a_j<min_{a_i}
max_{a_j}<a_i
f_i=max(f_i,f_j+1)
*/
int n,m;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],maxv;
int dp[maxn];
struct Treap{
    int ran[maxn<<3],l[maxn<<3],r[maxn<<3],v[maxn<<3],w[maxn<<3],cnt,ma[maxn<<3];
    inline void update(int k){ma[k]=max(ma[r[k]],max(w[k],ma[l[k]]));}
    inline void l_change(int &k){int t=r[k];r[k]=l[t];l[t]=k;update(k);update(t);k=t;}
    inline void r_change(int &k){int t=l[k];l[k]=r[t];r[t]=k;update(k);update(t);k=t;}
    inline void insert(int &k,int x,int val){
        if(!k){cnt++;k=cnt;ran[k]=rand();ma[k]=w[k]=val;v[k]=x;return;}
        else if(v[k]==x)w[k]=max(w[k],val);
        else if(x<v[k]){insert(l[k],x,val);if(ran[l[k]]<ran[k])r_change(k);}
        else {insert(r[k],x,val);if(ran[r[k]]<ran[k])l_change(k);}
        update(k);
    }
    inline int query(int k,int x){
        int re=0;
        for(;k;){
            if(v[k]>x)k=l[k];
            else re=max(re,max(ma[l[k]],w[k])),k=r[k];
        }
        return re;
    }\前驱最大
}t;
struct BIT{
    int root[maxn];
    inline int query(int k,int x){
        int re=0;
        for(;k;k-=k&-k)
        re=max(re,t.query(root[k],x));
        return re;
    }
    inline void add(int k,int x,int val){
        for(;k<=maxv;k+=k&-k)t.insert(root[k],x,val);
    }
}T;
int ans;
int main(){
    srand(233333);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=c[i]=a[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),y=read();
        b[x]=min(b[x],y);c[x]=max(c[x],y);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)maxv=max(maxv,c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=T.query(b[i],a[i]);
        dp[i]=x+1;
        T.add(a[i],c[i],dp[i]);
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

树套树就是一中思想,具体实现要靠自己领悟

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