线性代数12.图和网络

本节将讲述线性代数的应用。离散数学称之为“图”。

图

图包含结点和边。

例如：

我们将 (n=4) ,表示4个结点。 (m=5)，表示5条边。圆圈的数字是每条边的编号。箭头的方向表示参考方向，可以看作电流，根据参考方向判断电流的正负。与箭头同向为正，反之为负。

通过构造一个矩阵来解析这个图的含义。这个矩阵称为关联矩阵。

边(1、2、3)构成一个回路，可以看出，前三行线性相关（基尔霍夫电压定律）。所以回路对应的行就意味着线性相关。

需要注意的是，这里“回路”只考虑“小圈”，即这个例子只有两个回路：

1. 边1、2、3构成的回路
2. 边3、4、5构成的回路

不考虑边1、2、5、4构成的回路.

这个矩阵描述了该电路的拓扑结构。

零空间

实际意义：

如果将(x=x_1、x_2、x_3、x_4) 作为结点电势，可以通过矩阵 (A) 算出5条边上的电势差， 即(x_2-x_1、 x_3-x_2、 x_3-x_1 、 x_4-x_1、 x_4-x_3) 五个分量。

[ ext{Ax}=left( egin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 1 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & -1 & 1 \ end{array} ight) left( egin{array}{c} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \ end{array} ight)=left( egin{array}{c} x_2-x_1 \ x_3-x_2 \ x_3-x_1 \ x_4-x_1 \ x_4-x_3 \ end{array} ight)=left( egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ end{array} ight) ]

将 (A) 乘以结点电势 (x) ,可以得到各边的电势差。电势差什么时候全为0？这就需要求解零空间。

可以求出

[x=c left( egin{array}{c} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ end{array} ight) ]

其中，(c) 为任意常数。所以零空间是一维的。表示只有当结点等电势的时候，全部电势差才为0。

（mathematica里可以通过MatrixRank指令直接求出矩阵的秩）

只要确定了一点电势，其他点电势也可以求出来。将结点4接地，这意味着最后一列不起任何作用。而前三列线性无关。（实际上任意三列线性无关，任意三个结点的电势线性无关，剩下那个结点通常把她接地。）

矩阵 (A) 的秩为3。

左零空间

再看看 (A) 转置的零空间 (N(A^T))。

[A^Ty=0 ]

由上面计算，可知 (N(A^T)) 是2维的。 (N(A^T)) 的维数公式为 (m-r) 。(A^T) 是 (n*m) 矩阵。

[A^Ty=left( egin{array}{ccccc} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \ end{array} ight) left( egin{array}{c} y_1 \ y_2 \ y_3 \ y_4 \ y_5 \ end{array} ight)=left( egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ end{array} ight) ]

(A^Ty) 的实际意义是什么？

假设 矩阵 $y=left(
egin{array}{c}
y_1
y_2
y_3
y_4
y_5
end{array}
ight) $ 代表各边上的电流值，电流和电势差服从欧姆定律，所以有 (y=Cx)，电流是电势差的倍数，这个数值是电导（电阻的倒数）。电势的改变产生电流，欧姆定律告诉我们产生了多少电流。

(A^Ty=0) 的实际含义是，她代表了基尔霍夫电流定律。结点上电流的流入流出和为零，流入等于流出。

[left( egin{array}{c} -y_1-y_3-y_4 \ y_1-y_2 \ y_2+y_3-y_5 \ y_2+y_3-y_5 \ y_4+y_5 \ end{array} ight)=left( egin{array}{c} 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ end{array} ight) ]

例如方程 (-y_1-y_3-y_4=0) ,代表结点1上电流和为0.

我们可以直接观察回路电流情况（根据结点合电流为0）得出左零空间的一组基：

[left( egin{array}{c} 1 \ 1 \ -1 \ 0 \ 0 \ end{array} ight),left( egin{array}{c} 0 \ 0 \ 1 \ -1 \ 1 \ end{array} ight) ]

行空间

[A^T=left( egin{array}{ccccc} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \ end{array} ight) ]

从前面可知，前三列线性相关，(A^T) 主列可以选列1、列2、列4.她们分别对应电路网络的边1、边2和边4.

没有回路的图，我们叫“树（tree）”

维度公式的意义

[dim[N (A^T)] =m-r ]

我们可以写成

[#loop=#edge-(#nodes-1) ]

(m-r)表示为#loop 回路数量 ; (m)表示#edge表示边数 ; (r) 可以表示为#nodes表示结点数减1.

移位：

[#nodes-#edge+#loop=1 ]

结点想象成零维，图上的点，边想象成一维，她们连接着各点，回路想象成二维，是一个区域。

此公式对任意的图都成立。这就是欧拉公式。

我们可以用线性代数证明欧拉公式，欧拉公式是任何图中都具有的拓扑性质。

联系

如果考虑外部电源影响，假设加入一个电流源 (f)，则结点电流可以表示为

[A^Ty=f ]

结合前面分析，

将电势差记为 (e) 通过 (e=Ax) 得到电势差，

电势差产生电流，通过 (y=Ce) 计算出来，（C是电导）

电流满足KCL，得到 (A^Ty=f) .

我们可以得到平衡公式

[A^TCAx=f ]

这是应用数学中最基本方程。其中， (A^T.A) 我们可以得到对称矩阵。