之前我们学习了很多长方矩阵的知识，现在我们将把注意力转向方阵，探讨行列式和特征值。
行列式的性质
方阵的行列式记为 (det A=|A|) 。
我们从行列式的性质开始,慢慢引出她的定义。
- 单位矩阵的行列式值为1，即 (detI=1)
- 交换矩阵的行，行列式的值的符号相反
由前两个性质可以推出，置换矩阵的行列式：
置换矩阵是行交换的单位阵，当单位阵交换次数为偶数（不变）时，置换矩阵的行列式为1，当单位阵交换的次数为奇数时，置换矩阵的行列式为-1
以 (2*2) 矩阵为例
一般 (2*2) 的行列式，值为 (ad-bc) 。
性质3分为3a和3b
-
a.保持其余 (n-1) 行不变，用数 (t) 乘以一行，(t) 可以提取出来
[left| egin{array}{cc} ta & tb \ c & d \ end{array} ight|= tleft| egin{array}{cc} a & b \ c & d \ end{array} ight| ]b.保持其余 (n-1) 行不变
[left| egin{array}{cc} a+a^{'} & b+b^{'} \ c & d \ end{array} ight|= left| egin{array}{cc} a & b \ c & d \ end{array} ight|+ left| egin{array}{cc} a^{'} & b^{'} \ c & d \ end{array} ight| ]
这两个性质是关于线性组合的，只改变一行，其余行不变。性质3同样使用在第 (n) 行。
注意，性质3说的是某一行的线性组合，她只能和自己线性组合，而不是与其余行或者所有行的线性组合。所以
从这三个性质，我们可以得到更多的性质。
- 如果两行相等，行列式为0[left| egin{array}{cc} a & b \ a & b \ end{array} ight|=0 ]
性质4在 (n*n) 矩阵里面也适用。
比如在 (7*7) 矩阵中，两行相等，行列式为0。因为根据性质2，交换两行（交换一次），行列式取反；又因为两行相等，交换后仍然是同一个矩阵，没变，所以只有行列式为0满足条件。
- 从行(k) 减去行 (x) 的 (i) 倍（消元），行列式不变。
在消元法中，矩阵(A) 的行列式等于矩阵 (U) 的行列式，即 (detA=detU)
证明，由性质3b我们可以对组合进行拆分
- 若有一行为0，那么矩阵的行列式为0
可以用3a证明
- 上三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积，即主元的乘积
我们可以通过消元得到上三角矩阵，主元的乘积就是行列式，在消元过程中如果需要换行，则需要在前面加上符号。
证明：
根据性质5，消元后行列式不变，所以我们通过消元将 (U) 化简为 对角矩阵
计算行列式，利用性质3a，可以将每列主元提取出来,又根据性质1，单位阵行列式为1.可得
如果需要换行，还需要在结果加上对应的正负号。
如果某主元为0，我们将得到全零行，利用性质6，行列式为0。
- 当且仅当 (A) 是奇异矩阵时，(det A=0)；当且仅当 (A) 可逆，(detA≠0).
如果 (A) 是奇异矩阵，通过消元法化简为上三角矩阵后，会得到全零行，行列式为0，也可以说，矩阵不可逆就是奇异矩阵，行列式为0。如果 (A) 可逆，主元都不为0，行列式等于主元相乘。
- 矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积，即[det(AB)=(detA)*(detB) ]
需要说明的是，她们不具有线性性质，(det(A+B)≠(detA)+(detB))
例子1：
求 (A^{-1}) 的行列式
我们知道
两边同时取行列式，利用性质9分开
所以
利用性质9，我们还可以知道
假设在(n*n) 矩阵,如果将矩阵 (A) 乘以2，她的行列式为
因为我们消元后可以提取出每一行的公因子2，所以有 (n) 个2.
- 对于(A) 转置的行列式，等于 (A) 的行列式，即[detA^{T}=detA ]
转置不会改变行列式的值。
在(2*2) 矩阵中我们可以验证这一点
转置交换了行向量和列向量，根据这点，我们可以引出 全零列 的概念。所有行的性质在列上同样适用。
如果存在全零列，行列式为0。
交换两列也会改变行列式的符号。
根据性质10，行和列的性质是一样的。
证明：
根据性质7，三角矩阵的行列式都等于对角线上元素相乘，(L、L^T) 是对角线上都是1的三角矩阵， 所以 (|L|=|L^T|=1) ，(|U|=|U^T|=d_1*d_2*...*d_n) 。所以等式两边相等，证毕。
证明的关键在于把矩阵化简为三角矩阵，再化简为对角阵。