行列式公式
(2*2) 矩阵行列式公式推导
利用行列式性质3，每一行的线性性质，将向量分解
[egin {align}
|A|=&left|
egin{array}{cc}
a & b \
c & d \
end{array}
ight|\
=&left|
egin{array}{cc}
a & 0 \
c & d \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{cc}
0 & b \
c & d \
end{array}
ight|\
=&left|
egin{array}{cc}
a & 0 \
c & 0 \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{cc}
a & 0 \
0 & d \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{cc}
0 & b \
c & 0 \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{cc}
0 & b \
0 & d \
end{array}
ight|\
=&0+ad-bc+0\
=&ad-bc
end {align}
]
我们希望找到任意阶行列式公式。
这种方法就是一次取一行，利用性质3对其进行分解
例如，(3*3) 矩阵，第一行分解得到3部分，第二行分解得到9部分，第三行分解得到27部分。但这些部分有很多是零，幸存者是每行每列均只有一个元素。
[egin {align}
&left|
egin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} \
end{array}
ight|\
=&left|
egin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0\
0 & a_{22} & 0 \
0 & 0 & a_{33} \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0\
0 & 0& a_{23} \
0 & a_{32} & 0 \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{ccc}
0 & a_{12} & 0\
0 & 0& a_{23} \
a_{31} & 0 & 0 \
end{array}
ight|+\
&left|
egin{array}{ccc}
0 & a_{12} & 0\
a_{21} & 0& 0 \
0 & 0 & a_{33} \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{ccc}
0 & 0 & a_{13}\
a_{21} & 0& 0 \
0 & a_{32} & 0 \
end{array}
ight|+left|
egin{array}{ccc}
0 & 0 & a_{13}\
0& a_{22}& 0 \
a_{31} &0 & 0 \
end{array}
ight|\
\
=&a_{11}*a_{22}*a_{33} -a_{11}*a_{23}*a_{32} +a_{12}*a_{23}*a_{31} -\&a_{12}*a_{21}*a_{33} +a_{13}*a_{21}*a_{32}- a_{13}*a_{22}*a_{31}
end {align}
]
行交换次数是单数就在前面加负号，偶数就加正好。
(2*2) 分解后总共有2项，(3*3) 是6项，(n*n) 是 (n!) 项（阶乘）。并且，分解部分一半为正，一半为负。
根据前面我们就能得到任意阶的行列式公式
[ ext{detA}=sum _{n!} pm a_{1 alpha }*a_{2 eta }*a_{3 gamma }* ext{...}*a_{ ext{n$omega $}}
]
其中，列标组合 ((alpha,eta,gamma...omega)) 是 ((1,2,3...n)) 的某种排列。
每个列下标均用到一次。
举例
利用公式求以下矩阵的行列式
[left(
egin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1 & 0 \
1 & 1 & 0 & 0 \
1 & 0 & 0 & 1 \
end{array}
ight)
]
我们可以写出列下标组合
[(4,3,2,1)
ightarrow +1\
(3,2,1,4)
ightarrow -1\
]
每列确保只能有一个元素，每列只用一次，所以只有2个排序，根据把她们交换得到标准排序 $(1,2,3,4) $ 所需要的次数，在前面加上相应的符号。所以行列式结果为0.
代数余子式
代数余子式的作用是把 (n) 阶行列式化简为 (n-1) 阶行列式。
以 (3*3) 矩阵行列式为例
[egin {align}
&a_{11}*a_{22}*a_{33} -a_{11}*a_{23}*a_{32} +a_{12}*a_{23}*a_{31} -a_{12}*a_{21}*a_{33}
+a_{13}*a_{21}*a_{32}- a_{13}*a_{22}*a_{31}\
=&a_{11}*(a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})\
+&a_{12}*(a_{23}*a_{31}-a_{21}*a_{33})\
+&a_{13}*(a_{21}*a_{32}-a_{22}*a_{31})\
end {align}
]
将每一部分选定的那一项提取出来，剩下括号里面的表达式就是代数余子式。
以 (a_{11}*(a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})) 为例，((a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})) 是 (a_{11}) 的代数余子式。
会发现 ((a_{22}*a_{33}-a_{23}*a_{32})) 刚好是一个 (2*2) 矩阵的行列式。
[left(
egin{array}{ccc}
a_{11} & square & square \
square & a_{22} & a_{23} \
square & a_{32} & a_{33} \
end{array}
ight)
]
一旦选择 (a_{11}) ,剩余因子从剩余的 (n-1) 行和 (n-1) 列中取，每个元素只选一次，于是剩余因子会组成 (n-1) 阶行列式。这就是代数余子式的概念。
(3*3) 行列式就是选定元素乘以相应的 (2*2) 行列式。
[Cofactorquad of quad a_{ij}=C_{ij}=±det(n-1 quad matriax quad with quad rowiquad coljquad erased)
]
当 (i+j) 为偶数时取正，(i+j) 为奇数时取负。
求第一行的代数余子式，只要求相应的 (n-1) 阶行列式，再在前面根据 (i+j) 奇偶性加上正负号即可。
行列式的代数余子式方程是什么？
如果沿第 (i) 行展开，可得
[detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}
]
这是求行列式的另一种方法。
比如
[left|
egin{array}{cc}
a & b \
c & d \
end{array}
ight|=ad-bc
]
选定 (a) ,去掉第一行和第一列， (a) 代数余子式只有 (d).
选定 (b) ,去掉第一行和第二列， (b) 代数余子式只有 (-c).
上节课我们讲到，可以用消元法得到行列式的主元，然后用主元求解行列式，称之为主元公式，她能迅速得到答案，通过主元求解比什么都简单；而行列式大公式共有 (n！) 项，完全展开是很复杂的；利用代数余子式求解行列式的简便介于两者之间，她得到一些数和行列式的乘积，让原行列式展开成更简单的行列式，这也是代数余子式公式的核心思想。
利用代数余子式公式计算行列式.
例如：计算三对角线矩阵行列式
（注意这个矩阵是有规律的，非0元素排列在三条对角线上，她以(left(
egin{array}{cc}
1 & 1 \
1 & 1 \
end{array}
ight)) 这样一直对角写下来）
[A_4=left(
egin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 1 \
end{array}
ight)
]
将 (4*4) 矩阵记为 (A_4), (3*3) 矩阵记为 (A_3), (2*2) 矩阵记为 (A_2), (1*1) 矩阵记为 (A_1).
可以求得
(|A_1|=1)
(|A_2|=0)
(|A_3|=-1)
(|A_4|=1*|A_3|-1*|A_2|=-1)
由此可以得到一个公式
[|A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}|
]
这个例子 (A_{13}、A_{14}) 为0，可以忽略，因为0乘以她的代数余子式，结果为0.
由此我们可以得到
(|A_5|=|A_4|-|A_3|=0)
(|A_6|=|A_5|-|A_4|=1)
(|A_7|=|A_6|-|A_5|=1)
行列式以 “1，0，-1，-1，0，1”循环，以6为周期。
所以 (|A_{61}|=|A_1|=1)