前缀、中缀、后缀表达式

前缀、中缀、后缀表达式

1.定义

所谓的前、中、后，是指表达式中运算符相对于运算对象的位置。

中缀

运算符位于运算对象中间，即是中缀表达式。如(1+2)*3-4

最普遍的、最易被人脑理解的是中缀表达式。

前缀

运算符位于运算对象之前。即是前缀表达式。

如-*+1234

后缀

运算符位于运算对象之后，即是后缀表达式。如12+3*4-

2.总结

1. 前缀、后缀不易被人脑理解，但易于被计算机解析。

2. 仅仅有对中缀表达式进行合理的转换。才可得到对应的前、后缀表达式。

3.

3.1 中缀转前缀

过程例如以下：

(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式。
(3) 遇到操作数时，将其压入S2。
(4) 遇到运算符时。比較其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 假设S1为空。或栈顶运算符为右括号“)”。则直接将此运算符入栈。
(4-2) 否则。若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1。
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中。再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比較；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 假设是右括号“)”。则直接压入S1；
(5-2) 假设是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符。并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 反复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

3.2 对前缀进行解析

所谓的解析。也就是求解表达式。

解析方法：

从右至左扫描表达式。遇到数字时。将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做对应的计算（栈顶元素 op 次顶元素）。并将结果入栈；反复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
比如前缀表达式“-*+1234”：
(1) 从右至左扫描，将4、3、2、1依次压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出1和2（1为栈顶元素，2为次顶元素，注意与后缀表达式做比較），计算出1+2的值，得3。再将3入栈；
(3) 接下来是*运算符，因此弹出3和3，计算出3*3=9，将9入栈；
(4) 最后是-运算符。计算出9-4的值。即5。由此得出终于结果。

3.3 中缀转后缀

过程例如以下：

(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时。将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比較其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 假设S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或同样。而这里则不包含同样的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比較；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 假设是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 假设是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 反复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出。结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

3.4 对后缀进行解析

与前缀表达式相似。仅仅是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时。弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做对应的计算（次顶元素 op 栈顶元素）。并将结果入栈；反复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
比如后缀表达式“12+3*4-”：
(1) 从左至右扫描，将1和2压入堆栈；
(2) 遇到+运算符。因此弹出2和1（2为栈顶元素，1为次顶元素。注意与前缀表达式做比較），计算出1+2的值，得3，再将3入栈；
(3) 将3入栈；
(4) 接下来是*运算符。因此弹出3和3，计算出3*3=9，将9入栈；
(5) 将4入栈。
(6) 最后是-运算符，计算出9-4的值，即5。由此得出终于结果。

4.代码：

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
double evaluate(double n1, char c, double n2)
{
	switch (c)
	{
	case '+': return n1 + n2;
	case '-': return n1 - n2;
	case '*': return n1 * n2;
	case '/': return n1 / n2;
	}
}
int main(void)
{
	//解析前缀
	char expr1[] = "-*+1234";
	stack<double> sta;
	int i = strlen(expr1) - 1;
	int num1, num2;
	char c;
	do
	{
		c = expr1[i];
		if (isdigit(c)) sta.push(c - '0');
		else
		{
			num1 = sta.top();
			sta.pop();
			num2 = sta.top();
			sta.pop();
			sta.push(evaluate(num1, c, num2));
		}
		i--;
	} while (i > -1);
	cout << sta.top() << endl;
	sta.pop();
	//解析后缀
	char expr2[] = "12+3*4-";
	int n = strlen(expr2);
	i = 0;
	do
	{
		c = expr2[i];
		if (isdigit(c)) sta.push(c - '0');
		else
		{
			num1 = sta.top();
			sta.pop();
			num2 = sta.top();
			sta.pop();
			sta.push(evaluate(num2, c, num1));
		}
		i++;
	} while (i < n);
	cout << sta.top() << endl;
	return 0;
}

char ops[] = "+-*/";
int get_op(char c)
{
	for (int i = 0; i < 4; i++)
		if (c == ops[i]) return i;
	return -1;
}
/*
  +  -  *  /  
+ 0  0 -1 -1  
- 0  0 -1 -1  
* 1  1  0  0  
/ 1  1  0  0  
*/
int priority[4][4]=
{
	{ 0, 0, -1, -1 },
	{ 0, 0, -1, -1 },
	{ 1, 1, 0, 0 },
	{ 1, 1, 0, 0 }
};
int main(void)
{
	//中缀转前缀
	char expr[] = "1+((2+3)*4)-5";
	stack<char> s1, s2;
	int i, n;
	char c;
	i = strlen(expr) - 1;  //从右向左扫描
	do
	{
		c = expr[i];
		if (isdigit(c)) s2.push(c);  //数字直接压栈s2
		else
		{
			if (')' == c) s1.push(c);  //遇到右括号，直接压入栈s1
			else if ('(' == c)   //遇到左括号
			{
				while (')' != s1.top())
				{
					s2.push(s1.top());
					s1.pop();
				}
				s1.pop();
			}
			else  //其它非括号运算符
			{
				if (s1.empty() || ')' == s1.top()) s1.push(c);
				else
				{
					while (!s1.empty() && (-1 == priority[get_op(c)][get_op(s1.top())]))
					{
						s2.push(s1.top());
						s1.pop();
					}
					s1.push(c);
				}
			}
		}
		i--;
	} while (i > -1);
	while (!s1.empty())   //把s1中剩余字符压入s2
	{
		s2.push(s1.top());
		s1.pop();
	}
	do
	{
		cout << s2.top();
		s2.pop();
	} while (!s2.empty());
	return 0;
}

int main(void)
{
	//中缀转后缀
	char expr[] = "1+((2+3)*4)-5";
	stack<char> s1, s2;
	int i, n;
	char c;
	i = 0;   //从左至右扫描中缀表达式
	n = strlen(expr);
	do
	{
		c = expr[i];
		if (isdigit(c)) s2.push(c);  //数字直接压栈s2
		else
		{
			if ('(' == c) s1.push(c);   //左括号
			else if (')' == c)    //右括号
			{
				while ('(' != s1.top())
				{
					s2.push(s1.top());
					s1.pop();
				}
				s1.pop();
			}
			else
			{
				if (s1.empty() || '(' == s1.top()) s1.push(c);
				else
				{
					while (!s1.empty() && (priority[get_op(c)][get_op(s1.top())]) <= 0)
					{
						s2.push(s1.top());
						s1.pop();
					}
					s1.push(c);
				}
			}
		}
		i++;
	} while (i < n);
	while (!s2.empty())   //把s1中剩余字符压入s2
	{
		s1.push(s2.top());
		s2.pop();
	}
	do
	{
		cout << s1.top();
		s1.pop();
	} while (!s1.empty());
	return 0;
}

     

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