线性规划和非线性规划

线性规划：

线性规划在matlab中的标准形式:

       

         

其中c和x为n维向量，A、Aeq为适当维数的列向量。

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS) 

favl返回目标函数的值，LB和UB分别为变量的下界和上界，是的初始值，OPTIONS是控制参数。

一、运输问题

(产销平衡，运费最省)

某商品有个产地、个销地，各产地的产量分别为，各销地的 需求量分别为 。若该商品由产地运到销地的单位运价为，问应该如何调运才能使总运费最省？

引入变量，其取值为由i产地运往销地的该商品数量。数学模型为：

       

可直接用标准法求解。

对于产销平衡的运输问题，有关系：

       

因约束矩阵比较特殊，可用表上作业法。

二、指派问题

 拟分配人去干项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第人去干第项工作，需花费单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？

引入变量，若分配干工作，则取，否则取。数学模型为：

       

因最终为0-1矩阵，可用匈牙利算法求解。

链接中变换矩阵后为：

       

（不过最终更新的矩阵为：）

       

从变换后的矩阵就已经可以看出最优指派矩阵了（独立０元素）：

       

即，

       

带入最初的矩阵，即：

       

就可求出：

三、对偶理论

原始问题：

对偶问题：

基本性质：

• 对称性：对偶问题的对偶是原问题。
• 弱对偶性：若是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解。则存在。
• 无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。
• 可行解是最优解时的性质：设是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解， 当时，是最优解。
• 对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相同。
• 互补松弛性：若分别是原问题和对偶问题的最优解，则 。

非线性规划：

如果线性规划的优解存在，其优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的优解（如果优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。

某企业有个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第个项目需花资金元， 并预计可收益元。试选择佳投资方案。

设投资决策变量为

则投资总额为，投资总收益为，限制条件为，和。

总的来说就是让投资总额最小，投资总收益最大，即

，，