矩阵的平移、旋转与缩放

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矩阵的平移、旋转与缩放

世界坐标中的一个点乘以一个四维矩阵，可以实现平移，旋转和缩放等等。

平移就是 $[x,y,z]'+[dx,dy,dz]'$ ，旋转和缩放就是 $M\times [x,y,z]'$ (M分别是对应的旋转缩放矩阵)

当 $[x,y,z,0 \ or \ 1]$ 中为0时，是向量，为1时，是坐标。

平移，

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\\ 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x}\\ 0 & 1 & 0 & t_{y}\\ 0 & 0 & 1 & t_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x+t_{x}\\ x+t_{y}\\ x+t_{z}\\ 1\\ \end{bmatrix}$

旋转，

$R_{x}(\Theta ) \qquad \begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\\ 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & cos\Theta & -sin\Theta & 0\\ 0 & sin\Theta & cos\Theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$

$R_{z}(\Theta ) \qquad \begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\\ 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta & 0 & 0\\ sin\Theta & cos\Theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$

$R_{y}(\Theta ) \qquad \begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\\ 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos\Theta & 0 & sin\Theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -sin\Theta & 0 & cos\Theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$

缩放，

$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ z^{'}\\ 1\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s_{x} & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_{y} & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_{z} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x*s_{x}\\ x*s_{y}\\ x*s_{z}\\ 1 \end{bmatrix}$

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原文地址：https://www.cnblogs.com/clairvoyant/p/5882754.html