算法分析的数学基础 & 大纲

计算复杂型函数的阶

1.渐进效率：保留高阶项（增长的阶），忽略掉低阶项和常数项

2.典型增长阶：

Θ(1)，Θ(lg n)，Θ(n½)，Θ(n)，Θ(nlg n)，Θ(n²)，Θ(n³)，Θ(2^n)，Θ(n!)

3.增长记号：Ο(渐进上界：最坏情况)、Θ(渐进紧界)、Ω(渐进下界：最好情况)、

　　　　　　ο(不紧上界)、ω(不紧下界)

4.增长函数：

　　同阶函数：f(n)=Θ(g(n))　　c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)　　c1,c2>0

　　低阶函数：f(n)=Ο(g(n))　　0 <= f(n) <= cg(n)　　c>0　f(n)为低阶项

严格低阶函数：f(n)=ο(g(n))　　0 <= f(n) < cg(n)　　　c>0　f(n)为低阶项

　　高阶函数：f(n)=Ω(g(n))　　0 <= cg(n) <= f(n)　　c>0　f(n)为高阶项

严格高阶函数：f(n)=ω(g(n))　　0 <= cg(n) < f(n)　　  c>0　f(n)为高阶项

和式估计与界限（多证明略）

1.线性和

2.级数

3.和的界限

递归方程

1.替换方法：先猜想，再用数学归纳法证明

2.迭代方法：把方程转化为一个和式，估计和

3.Master定理法：求解型为 T(n)=aT(n/b)+f(n) 的递归方程

1：数学

1.1：数论

1.1.1：中国剩余定理
1.1.2：欧拉函数
1.1.3：欧几里得定理
1.1.3.1：欧几里得定理
1.1.3.2：扩展欧几里得
1.1.4：大数分解与素数判定
1.1.5：佩尔方程

1.2：组合数学

1.2.1：排列组合
1.2.2：容斥原理
1.2.3：递推关系和生成函数
1.2.4：Polya计数法
1.2.4.1：Polya计数公式
1.2.4.2：Burnside定理

1.3：计算方法

1.3.1：二分法
1.3.1.1：用矩阵加速的计算
1.3.2：迭代法
1.3.3：三分法
1.3.4：解线性方程组
1.3.4.1：LUP分解
1.3.4.2：高斯消元
1.3.5：解模线性方程组
1.3.6：定积分计算
1.3.7：多项式求根
1.3.8：周期性方程
1.3.9：线性规划
1.3.10：快速傅立叶变换
1.3.11：随机算法

1.4：构造方法

1.4.1：N皇后构造解
1.4.2：幻方的构造
1.4.3：满足一定条件的hamilton圈的构造

1.5：特殊的数

1.5.1：Catalan数
1.5.2：Stirling数
1.5.3：斐波拉契数
1.5.4：调和数
1.5.4：连分数

2：数据结构

2.1：栈，队列，链表
2.2：哈希表
2.3：堆，优先队列
2.3.1：左偏树
2.4：二叉查找树
2.4.1：Treap
2.4.2：伸展树
2.5：并查集
2.6：平衡二叉树
2.7：线段树
2.7.1：一维线段树
2.7.2：二维线段树
2.8：树状数组
2.8.1：一维树状数组
2.8.2：N维树状数组
2.9：字典树
2.10：后缀数组
2.11：块状链表

3：图论

3.1：图

3.1.1.：广度优先遍历
3.1.2.：深度优先遍历
3.1.3.：拓扑排序
3.1.4.：割边割点
3.1.5.：强连通分量
3.1.5：2-SAT问题
3.1.6.：欧拉回路
3.1.7.：哈密顿回路

3.2.：最小生成树

3.2.1.：Prim算法
3.2.2.：Kruskal算法
3.2.3.：Sollin算法
3.2.4.：次小生成树
3.2.5.：第k小生成树
3.2.6.：最优比例生成树
3.2.7.：最小树形图
3.2.8.：最小度限制生成树
3.2.9.：平面点的欧几里德最小生成树
3.2.10.：平面点的曼哈顿最小生成树
3.2.11.：最小平衡生成树

3.3.：最短路径

3.3.1.：有向无环图的最短路径->拓扑排序
3.3.2.：非负权值加权图的最短路径->Dijkstra算法
3.3.3.：含负权值加权图的最短路径->Bellmanford算法
3.3.4.：含负权值加权图的最短路径->Spfa算法
3.3.5.：全源最短路弗洛伊德算法Floyd
3.3.6.：全源最短路Johnson算法
3.3.7.：次短路径
3.3.8.：第k短路径
3.3.9.：差分约束系统
3.3.10.：平面点对的最短路径(优化)
3.3.11.：双标准限制最短路径

3.4.：最大流

3.4.1.：增广路->Ford-Fulkerson算法
3.4.2.：预推流
3.4.3.：Dinic算法
3.4.4.：有上下界限制的最大流
3.4.5.：节点有限制的网络流
3.4.6.：无向图最小割->Stoer-Wagner算法
3.4.7.：有向图和无向图的边不交路径
3.4.8.：Ford-Fulkerson迭加算法
3.4.9.：含负费用的最小费用最大流

3.5.：匹配

3.5.1.：Hungary算法
3.5.2.：最小点覆盖
3.5.3.：最小路径覆盖
3.5.4.：最大独立集问题
3.5.5.：二分图最优完备匹配Kuhn-Munkras算法
3.5.6.：一般图的最大基数匹配
3.5.7.：一般图的赋权匹配问题

5：计算几何：

5.1基本公式

5.1.1：叉乘
5.1.2：点乘
5.1.3：常见形状的面积、周长、体积公式

5.2：线段

5.2.1：判断两线段（一直线、一线段）是否相交
5.2.2：求两线段的交点

5.3：多边形

5.3.1：判定凸多边形,顶点按顺时针或逆时针给出,(不)允许相邻边共线
5.3.2：判点在凸多边形内或多边形边上,顶点按顺时针或逆时针给出
5.3.3：判点在凸多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,在多边形边上返回0
5.3.4：判点在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出
5.3.5：判线段在任意多边形内,顶点按顺时针或逆时针给出,与边界相交返回1
5.3.6：多边形重心
5.3.7：多边形切割(半平面交)

5.4：三角形

5.4.1：内心
5.4.2：外心
5.4.3：重心
5.4.4：垂心
5.4.5：费马点

5.5：圆

5.5.1：判直线和圆相交,包括相切
5.5.2：判线段和圆相交,包括端点和相切
5.5.3：判圆和圆相交,包括相切
5.5.4：计算圆上到点p最近点,如p与圆心重合,返回p本身
5.5.5：计算直线与圆的交点,保证直线与圆有交点
5.5.6：计算线段与圆的交点可用这个函数后判点是否在线段上
5.5.7：计算圆与圆的交点,保证圆与圆有交点,圆心不重合
5.5.8：计算两圆的内外公切线
5.5.9：计算线段到圆的切点

5.6：经典问题

5.6.1：平面凸包
5.6.2：三维凸包
5.6.3：Delaunay剖分/Voronoi图