简单了解了一下数论，有些东西没弄懂，就纪录一下数论的简单知识，以备不时之需
1 素数筛法
（1）埃式筛法
最简单思路：所有可能的因数全部试一遍。（特判1和2不是素数）
void Init(int n)
{
memset(book,0,sizeof(book));
book[0] = 1;
book[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(book[i]==0)
{
for(int j = i+i; j <= n; j += i)
book[j] = 1;
}
}
}
（2）欧拉筛法（线性筛法）
本代码保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，因此每个数只会被标记一次，所以时间复杂度是O(n)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define MAXL 1299710
int prime[MAXN];
int check[MAXL];
int tot = 0;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
if(!check[i])prime[tot++] = i;
for (int j = 0; j < tot&&i * prime[j] <= MAXL; ++j){
check[i*prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0)break;
}
}
(3)区间筛素数
思路：因为b以内合数的最小质因数一定不超过sqrt(b),如果有sqrt(b)以内的素数表的话，就可以把筛选法用在[a,b)上了,先分别做好[2,sqrt(b))的表和[a,b)的表，然后从[2,sqrt(b))的表中筛得素数的同时，也将其倍数从[a,b)的表中划去，最后剩下的就是区间[a,b)内的素数了
typedef long long ll;
bool is_prime[maxn];
bool is_prime_small[maxn];
void segment_sieve(ll a,ll b)
{
for(ll i=0;i*i<b;++i) is_prime_small[i]=true; //初始化
for(ll i=0;i<b-a;++i) is_prime[i]=true; //初始化，注意下标变化，为了省空间
for(ll i=2;i*i<b;++i) {
if(is_prime_small[i]) {
for(ll j=2*i;j*j<b;j+=i) is_prime_small[j]=false; //筛选[2,sqrt(b));
//(a+i-1)/i得到最接近a的i的倍数，最低是i的2倍，然后筛选
for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i) is_prime[j-a]=false;
}
}
}
2欧几里得
（1）欧几里得算法 (Euclidean algorithm) ，即大部分选手所知的“辗转相除法”，用来求解最大公约数问题
int gcd(int a, int b) //欧几里得求最大公约数
{
if(b == 0) return a;
return gcd(b, a%b);
}
int lcm(int a,int b){ //最小公倍数
return a/gcd(a,b)*b; //防止溢出
}
（2）扩展欧几里得
即ax + by = gcd(a,b)；
而当gcd(a,b) = 1，即a,b互质的时候，这个方程的解实际上就对应了a关于模b的逆元。
下面是从欧几里得算法拓展的过程:
首先呢，可以看出：a = gcd(a,b), b = 0 是该式的一个特解；
然后，根据欧几里得算法的原理可以得出：bx + (a%b)y = gcd(a,b);
又因为， a%b = a - (a/b)*b (a/b 为整除关系)
所以原式化为： bx + (a - (a/b)*b)y = gcd(a,b);
整理得： ay + b * (x - (a/b) * y) = gcd(a,b);
所以解之间的递归关系为：
- xx = y;
- yy = x - (a/b)y;
int extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b==0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = extend_Euclid(b, a%b, y, x);
y -= a/b*x; //这里已经是递归，回溯的过程了，x,y已经颠倒了
return r;
}
同时，可以给出通解的方程：
x = x0 + b/gcd(a,b)*t;
y = y0 - a/gcd(a,b)*t;
(x0, y0 为方程的一组特解， t为整数)
三.模与余：
（1）模运算：
1.取模运算：a % p（a mod p），表示a除以p的余数。
2.模p加法：(a + b) % p = (a%p + b%p) % p
3.模p减法：(a - b) % p = (a%p - b%p) % p
4.模p乘法：(a * b) % p = ((a % p)*(b % p)) % p
5.幂模p ： (a^b) % p = ((a % p)^b) % p
6.模运算满足结合律、交换律和分配律。
7.a≡b (mod n) 表示a和b模n同余，即a和b除以n的余数相等。
（2）同余的性质：
1.反身性：a≡a (mod m)；
2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a c≡b d(mod m)；
5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
（3）快速幂
//快速幂求a^b;
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k(int a,int b){
int t = 1;
while(b){
if(b%2 != 0){
t *= a;
b--;
}
a *= a;
b /= 2;
}
return t;
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
int x = k(a,b);
cout<<x<<endl;
return 0;
}
/*//快速幂求a^b的后y位;
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k(int a,int b,int y){
int t = 1;
while(b){
if(b%2 != 0){
t = (a*t)%y;
b--;
}
a = (a*a)%y;
b /= 2;
}
return t;
}
int main()
{
int a,b,y;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);
int x = k(a,b,y);
cout<<x<<endl;
}*/
四.唯一分解定理
题目链接：http://lightoj.com/login_main.php?url=volume_showproblem.php?problem=1341
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000050;
typedef long long ll;
ll a[N],b[N],k = 0;
ll init(ll n){
ll s = 1;
if(n == 0){
return 0;
}
ll tt = 0;
ll i = 0;
while(a[i] < n && i < k){
tt = 0;
if(n % a[i] == 0){
while(n % a[i] == 0){
n /= a[i];
tt++;
}
}
s *= tt+1;
i++;
}
if(n > 1){
s *= 1+1;
}
return s;
}
int main()
{
k = 0;
ll i = 0;
for( i = 2; i <= N; i++){
if(!b[i]){
a[k++] = i;
for(ll j = i+i; j <= N; j += i){
b[j] = 1;
}
}
}
int t;
scanf("%d",&t);
int h = 0;
while(t--){
h++;
ll n,m,num = 0,cns = 0;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(m >= sqrt(n)){
num = 0;
}
else{
for(i = 1; i < m; i++){
if(n%i == 0){
cns++;
}
}
num = init(n)/2;
num -= cns;
}
printf("Case %d: %lld
",h,num);
}
return 0;
}
五.欧拉函数：
5.1定义：
互质：gcd(a,b)=1，则a，b互质
欧拉函数φ(n):小于等于n的所有数中与n互质数的个数
5.2性质：
1.对于质数p， φ( p) = p - 1。注意φ(1)=1
2. 若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)
3. 当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
4.当n大于2时，所有φ(n)都是偶数
5.当n大于6时，所有φ(n)都是合数
6.欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 mod n
7.费马小定理：若gcd(a,b)=1，则a^(p-1)=1 mod n
8.欧拉定理推论：小于等于n的数中，与n互质数的总和为：φ(n)*n/2 (n>1)
//求一个数的欧拉函数
//直接求解欧拉函数 int euler(int n){ //返回euler(n) int res=n,a=n; for(int i=2;i*i<=a;i++){ if(a%i==0){ res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 while(a%i==0) a/=i; } } if(a>1) res=res/a*(a-1); return res; }
//求1-n每个数的欧拉函数
void Init(){ euler[1]=1; for(int i=2;i<Max;i++) euler[i]=i; for(int i=2;i<Max;i++) if(euler[i]==i) for(int j=i;j<Max;j+=i) euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 }