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  • HDU 2516 取石子游戏 (斐波那契博弈)

    取石子游戏

    Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
    Total Submission(s): 3018    Accepted Submission(s): 1759


    Problem Description
    1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个,但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".
     
    Input
    输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.
     
    Output
    先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win". 
    参看Sample Output.
     
    Sample Input
    2
    13
    10000
    0
     
    Sample Output
    Second win
    Second win
    First win
     
    Source
     
     
    斐波那契博弈
    引用:http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016
     
    模型:
    有一堆个数为 n (n>=2)的石子,游戏双方轮流取石子,满足:
    1. 先手不能在第一次把所有的石子取完,至少取一颗;
    2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间(包含1和对手刚取的石子数的2倍)。
    约定取走最后一个石子的人为赢家,求必败态。
     
    这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点,就是游戏规则的动态化。之前的规则中,每次可以取的石子的策略集合是基本固定的,但是这次有规则2:一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。
     
    结论为:当n为Fibonacci数的时候,必败。
     
    必败证明:

    1、当i=2时,先手只能取1颗,显然必败,结论成立。

    2、假设当i<=k时,结论成立。

    则当i=k+1时,f[i] = f[k]+f[k-1]。

    则我们可以把这一堆石子看成两堆,简称k堆和k-1堆。

    (一定可以看成两堆,因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1],则后手可以直接取完f[k],因为f[k] < 2*f[k-1])

    对于k-1堆,由假设可知,不论先手怎样取,后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

    如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3,则这小堆所剩的石子数小于2y,即后手可以直接取完,此时x=f[k-1]-y,则x<=2/3*f[k-1]。

    我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小,由数学归纳法不难得出,后者大。

    所以我们得到,x<1/2*f[k]。

    即后手取完k-1堆后,先手不能一下取完k堆,所以游戏规则没有改变,则由假设可知,对于k堆,后手仍能取到最后一颗,所以后手必胜。

    即i=k+1时,结论依然成立。

    那么,当n不是Fibonacci数的时候,情况又是怎样的呢?

    这里需要借助“Zeckendorf定理”(齐肯多夫定理):任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

    关于这个定理的证明,感兴趣的同学可以在网上搜索相关资料,这里不再详述。

    分解的时候,要取尽量大的Fibonacci数。

    比如分解85:85在55和89之间,于是可以写成85=55+30,然后继续分解30,30在21和34之间,所以可以写成30=21+9,

    依此类推,最后分解成85=55+21+8+1。

    则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。(a1>a2>……>ap)

    我们令先手先取完f[ap],即最小的这一堆。由于各个f之间不连续,则a(p-1) > ap  + 1,则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆,且不能一次取完。

    此时后手相当于面临这个子游戏(只有f[a(p-1)]这一堆石子,且后手先取)的必败态,即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

    同理可知,对于以后的每一堆,先手都可以取到这一堆的最后一颗石子,从而获得游戏的胜利。

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<stdlib.h>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<algorithm>
    #include<ctype.h>
    #define LL __int64
    using namespace std;
    const int MAXN=50+5;
    const int INF=0x3f3f3f3f;
    const double EPS=1e-9;
    int dir4[][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
    int dir8[][2]={{0,1},{1,1},{1,0},{1,-1},{0,-1},{-1,-1},{-1,0},{-1,1}};
    int dir_8[][2]={{-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2},{-1,-2},{-2,-1}};
    int Fib[MAXN];
    void init()
    {
        Fib[0]=Fib[1]=1;
        for(int i=2;i<MAXN;i++)
            Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
    }
    int main()
    {
        init();
        int n;
        while(scanf("%d",&n) && n)
        {
            int i;
            for(i=0;i<MAXN;i++)
                if(Fib[i]==n)
                    break;
            if(i<MAXN) printf("Second win
    ");
            else printf("First win
    ");
        }
        return 0;
    }
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