最近学了SAM已经SAM的比较简单的应用，SAM确实不好理解呀，记录一下。
这里提一下后缀自动机比较重要的性质：
1，SAM的点数和边数都是O(n)级别的，但是空间开两倍。
2，SAM每个结点代表一个endpos，每个endpos有可能代表多个字串(当然这些字串的endpos相等)，且这些字串的长度呈一个梯形。
3，令tree[x].len为点x代表的所有字串中长度最长的,tree[x].short为最短的，那么tree[x].short=(tree[fa].len)+1，根据这条性质其实tree[x].short就不用算了可以直接由fa得到。
4，SAM的一条边代表往后添加一个字符，且路径和字串一一对应，那么就得到路径数等于字串数。
5，在parent树上，x的endpos大小等于x的所有儿子y的endpos大小+1，那么就可以通过建树之后一次dfs计算所有点的endpos大小。
6，第2点说明每个状态endpos代表的长度区间为len[fa[s]]->len[s]]，那么要求所有本质不同的串的个数就是∑tlen[t]−len[fa[t]] 。
模板题：洛谷P3804
题目要求出现次数不为1(即endpos大小不为1)的时候计算出现次数*字串大小最大。首先肯定要计算endpos大小（这里用的是建树之后dfs的计算办法），然后虽然每个endpos应该有多个字串，但是题目要求计算最大值，所以只看endpos最长的那个字串(tree[x].len)就可以了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2e6+10; int n,tot=1,las=1; char s[N]; struct NODE { int ch[26]; int len,fa; NODE(){memset(ch,0,sizeof(ch));len=fa=0;} }tree[N]; int cnt=0,head[N],nxt[N],to[N]; void add_edge(int x,int y) { nxt[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; head[x]=cnt; } long long ep[N],ans; //ep是结点endpos大小 void insert(int c) { //字符插入到SAM中 int p=las,np=las=++tot;ep[tot]=1; tree[np].len=tree[p].len+1; for (;p&&!tree[p].ch[c];p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=np; if (!p) tree[np].fa=1; else { int q=tree[p].ch[c]; if(tree[q].len==tree[p].len+1)tree[np].fa=q; else { int nq=++tot; tree[nq]=tree[q];tree[nq].len=tree[p].len+1; tree[q].fa=tree[np].fa=nq; for(;p&&tree[p].ch[c]==q;p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=nq; } } } void dfs(int x) { for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) { int y=to[i]; dfs(y); ep[x]+=ep[y]; } if(ep[x]!=1)ans=max(ans,ep[x]*tree[x].len); } int main() { scanf("%s",s); n=strlen(s); for(int i=0;i<n;i++) insert(s[i]-'a'); //把字符串s插入到 SAM 中 for(int i=2;i<=tot;i++) add_edge(tree[i].fa,i); //建树计算每个点endpos大小 dfs(1); //dfs计算 printf("%lld ",ans); return 0; }
SPOJ1811 LCS - Longest Common Substring
求两个字符串最长公共字串长度。把字符串s1建SAM，然后令s2在SAM上匹配。匹配过程有点儿像AC自动机，一个一个字符匹配，匹配成功就继续往下匹配，当匹配失败的时候就沿着fa往上跳然后继续匹配。
这里要注意一个小细节，匹配失败往上跳的时候如果跳到了root结点记得把匹配信息清理。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e6+10; int n,m,tot=1,las=1; char s1[N],s2[N]; struct NODE { int ch[26]; int len,fa; NODE(){memset(ch,0,sizeof(ch));len=fa=0;} }tree[N]; int cnt=0,head[N],nxt[N],to[N]; void add_edge(int x,int y) { nxt[++cnt]=head[x]; to[cnt]=y; head[x]=cnt; } long long ep[N],ans; //ep是结点endpos大小 void insert(int c) { //字符插入到SAM中 int p=las,np=las=++tot;ep[tot]=1; tree[np].len=tree[p].len+1; for (;p&&!tree[p].ch[c];p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=np; if (!p) tree[np].fa=1; else { int q=tree[p].ch[c]; if(tree[q].len==tree[p].len+1)tree[np].fa=q; else { int nq=++tot; tree[nq]=tree[q];tree[nq].len=tree[p].len+1; tree[q].fa=tree[np].fa=nq; for(;p&&tree[p].ch[c]==q;p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=nq; } } } void dfs(int x) { for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) { int y=to[i]; dfs(y); ep[x]+=ep[y]; } if(ep[x]!=1)ans=max(ans,ep[x]*tree[x].len); } int main() { scanf("%s%s",s1,s2); n=strlen(s1); m=strlen(s2); for(int i=0;i<n;i++) insert(s1[i]-'a'); //把字符串s插入到 SAM 中 int ans=0,nowlen=0,now=1; for (int i=0;i<m;i++,ans=max(ans,nowlen)) { int p=s2[i]-'a'; if (tree[now].ch[p]) now=tree[now].ch[p],nowlen++; else { while(now&&!tree[now].ch[p]) now=tree[now].fa; //失配沿着fa继续匹配 if (now==0) now=1,nowlen=0; //注意这里 else nowlen=tree[now].len+1,now=tree[now].ch[p]; } } cout<<ans<<endl; return 0; }
SPOJ7258 SUBLEX - Lexicographical Substring Search(后缀自动机)
给出一个串求它的所有字串中第k小的字串（本质相同的字串只算一个）。
根据上面提到的SAM的路径数等于字串个数，我们可以先求出以每个点为起点的路径数(即得到每个点为起点的字串数)。然后常规套路像在搜索树上一边剪枝修改k一边搜索最终得到答案。
这里要注意，因为本质相同算一个，所以每个点初始值就是1。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=2e6+10; int n,tot=1,las=1; char s[N]; struct NODE { int ch[26]; int len,fa; NODE(){memset(ch,0,sizeof(ch));len=fa=0;} }tree[N]; void insert(int c) { //字符插入到SAM中 int p=las,np=las=++tot; tree[np].len=tree[p].len+1; for (;p&&!tree[p].ch[c];p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=np; if (!p) tree[np].fa=1; else { int q=tree[p].ch[c]; if(tree[q].len==tree[p].len+1)tree[np].fa=q; else { int nq=++tot; tree[nq]=tree[q];tree[nq].len=tree[p].len+1; tree[q].fa=tree[np].fa=nq; for(;p&&tree[p].ch[c]==q;p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=nq; } } } int sub[N]; void toposort() { static int c[N],rk[N]; for (int i=1;i<=tot;i++) c[tree[i].len]++; for (int i=1;i<=n;i++) c[i]+=c[i-1]; for (int i=tot;i;i--) rk[c[tree[i].len]--]=i; //前3步桶排序 for (int i=1;i<=tot;i++) sub[i]=1; //本质相等只算一个，初始值为1 for (int i=tot;i;i--) for (int j=0;j<26;j++) sub[rk[i]]+=sub[tree[rk[i]].ch[j]]; //该点路径数等于它所有儿子路径数和 } void solve(int k) { int now=1; while (k) { if (now!=1) k--; if (k<=0) break; for (int i=0;i<26;i++) if (sub[tree[now].ch[i]]<k) k-=sub[tree[now].ch[i]]; else { putchar(i+'a'); now=tree[now].ch[i]; break; } } } int main() { scanf("%s",s); n=strlen(s); for(int i=0;i<n;i++) insert(s[i]-'a'); //把字符串s插入到 SAM 中 toposort(); //求DAG某个点为起点的路径数 int T,q; cin>>T; while (T--) { scanf("%d",&q); solve(q); puts(""); } return 0; }
BZOJ-3998 / 洛谷P3975 弦论
跟上题差不多,只不过是本质相同字串要算多次，所以每个点的初始值不是1而是endpos的大小。其他不用怎么变。
这题按道理字串个数要用long long。但是在BZOJ上用long long有可能超时，用int就能过。。。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e6+10; int n,tot=1,las=1; char s[N]; struct NODE { int ch[26]; int len,fa; NODE(){memset(ch,0,sizeof(ch));len=fa=0;} }tree[N]; int ep[N],sub[N]; void insert(int c) { //字符插入到SAM中 int p=las,np=las=++tot; ep[tot]=1; tree[np].len=tree[p].len+1; for (;p&&!tree[p].ch[c];p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=np; if (!p) tree[np].fa=1; else { int q=tree[p].ch[c]; if(tree[q].len==tree[p].len+1)tree[np].fa=q; else { int nq=++tot; tree[nq]=tree[q];tree[nq].len=tree[p].len+1; tree[q].fa=tree[np].fa=nq; for(;p&&tree[p].ch[c]==q;p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=nq; } } } int c[N],rk[N]; void toposort(int opt) { for (int i=1;i<=tot;i++) c[tree[i].len]++; for (int i=1;i<=n;i++) c[i]+=c[i-1]; for (int i=tot;i;i--) rk[c[tree[i].len]--]=i; //前3步桶排序 if (opt==0) for (int i=2;i<=tot;i++) ep[i]=1; //本质相等只算一个，初始值为1 if (opt==1) for (int i=tot;i>1;i--) ep[tree[rk[i]].fa]+=ep[rk[i]]; //本质相等算多个，初始值为endpos大小 for (int i=2;i<=tot;i++) sub[i]=ep[i]; for (int i=tot;i;i--) for (int j=0;j<26;j++) sub[rk[i]]+=sub[tree[rk[i]].ch[j]]; //该点路径数等于它所有儿子路径数和 } void solve(int k) { int now=1; if (k>sub[1]) { puts("-1"); return; } while (k) { if (now!=1) k-=ep[now]; if (k<=0) break; for (int i=0;i<26;i++) if (sub[tree[now].ch[i]]<k) k-=sub[tree[now].ch[i]]; else { putchar(i+'a'); now=tree[now].ch[i]; break; } } } int main() { scanf("%s",s); n=strlen(s); for(int i=0;i<n;i++) insert(s[i]-'a'); //把字符串s插入到 SAM 中 int opt,q; cin>>opt>>q; toposort(opt); //求DAG某个点为起点的路径数 solve(q); return 0; }
HDU-4622 Reincarnation
题意：给出一个字符串，有多次询问[l,r]，要求求字符串[l,r]字串的所有本质不同的字串个数。
解法：根据上面第6点，当我们把SAM建出来就可以通过计算sigma(tree[x].len-tree[x.fa].len)得到本质不同字串个数。但是本题要求区间不同字串个数，一看数据量2000，我们做n^2的预处理：枚举区间左端点i开始建SAM然后从左端点开始往后逐一把每个字符j加入到SAM，那么此时得到的SAM就是区间[i,j]的SAM。但是我们不能每次求出SAM暴力计算sigma(tree[x].len-tree[x.fa].len)，明显超时。观察发现每插入一个字符对答案多造成的贡献就是插入字符的tree[x].len-tree[x.fa].len，所以逐一累加即可。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=4e3+10; int n,tot=1,las=1,sum; char s[N]; struct NODE { int ch[26]; int len,fa; NODE(){memset(ch,0,sizeof(ch));len=fa=0;} }tree[N]; int ep[N],ans[2010][2010]; void insert(int c) { //字符插入到SAM中 int p=las,np=las=++tot; ep[tot]=1; tree[np].len=tree[p].len+1; for (;p&&!tree[p].ch[c];p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=np; if (!p) tree[np].fa=1; else { int q=tree[p].ch[c]; if(tree[q].len==tree[p].len+1)tree[np].fa=q; else { int nq=++tot; tree[nq]=tree[q];tree[nq].len=tree[p].len+1; tree[q].fa=tree[np].fa=nq; for(;p&&tree[p].ch[c]==q;p=tree[p].fa) tree[p].ch[c]=nq; } } sum+=tree[np].len-tree[tree[np].fa].len; } int main() { int T; cin>>T; while (T--) { scanf("%s",s+1); n=strlen(s+1); for (int i=1;i<=n;i++) { sum=0; for (int j=i;j<=n;j++) { insert(s[j]-'a'); ans[i][j]=sum; } for (int j=1;j<=tot;j++) { tree[j].fa=tree[j].len=0; memset(tree[j].ch,0,sizeof(tree[j].ch)); } tot=1; las=1; } int q; cin>>q; while (q--) { int l,r; scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d ",ans[l][r]); } } return 0; }