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  • 洛谷P3158 [CQOI2011]放棋子 组合数学+DP

    题意:在一个m行n列的棋盘里放一些彩色的棋子,使得每个格子最多放一个棋子,且不同颜色的棋子不能在同一行或者同一列。有多少祌方法?

    解法:这道题不会做,太菜了qwq。题解是看洛谷大佬的。

    设C是组合数,f[i][j][k]:代表前k种棋子合法地恰好占领i行j列 

    那么得到状态转移方程:f[i][j][k]=sigma f[ki][kj][k-1] * C[n-ki][i-ki] * C[m-kj][j-kj] * a[k]个棋子恰好占领i-ki行j-kj列的方案数。 这个式子的意思是我们枚举前k-1种棋子的占领情况是行占领ki行列占领kj列,那么第k种棋子就能占领i-ki行j-kj列,我们选出这i-ki/j-kj之后乘上通知颜色棋子a[k]个占领这i-ki/j-kj的方案数。

    我们发现前面都都比较好算,唯独 a[k]个棋子恰好占领i-ki行j-kj列的方案数 这一项难算。

    那么我们就考虑单独先预处理出这一项,设g[i][j][k]:代表k个同色棋子恰好占领了i行j列 ;

    那么写出状态转移方程:g[i][j][k]=C[i*j][k] - sigma g[ki][kj][k] * C[i][i-ki] * C[j][j-kj] ;式子的意思是总的方案数减去不合法方案数,即同样是k个棋子却没有占满i行j列。

    那么我们预处理出C数组和g数组,就可以获得AC了。

     1 #include<bits/stdc++.h>
     2 using namespace std;
     3 const int N=100+10;
     4 const int P=1e9+9;
     5 typedef long long LL;
     6 int n,m,c,a[N];
     7 int C[N*10][N*10],f[N][N][N*10],g[N][N][N*10];
     8 //g[i][j][k]:代表k个同色棋子恰好占领了i行j列 
     9 //f[i][j][k]:代表前k种棋子合法地恰好占领i行j列 
    10 
    11 void prework() {
    12     for (int i=0;i<=1000;i++)
    13         for (int j=0;j<=1000;j++)
    14             if (j==0 || i==j) C[i][j]=1;
    15             else C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
    16 }
    17 
    18 int main()
    19 {
    20     cin>>n>>m>>c;
    21     int sum=0;
    22     for (int i=1;i<=c;i++) scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];
    23     prework();
    24     
    25     for (int i=1;i<=n;i++)
    26         for (int j=1;j<=m;j++)
    27             for (int k=1;k<=sum;k++) {
    28                 if (i*j<k) continue;
    29                 g[i][j][k]=C[i*j][k];
    30                 for (int ki=1;ki<=i;ki++)
    31                 for (int kj=1;kj<=j;kj++)
    32                     if (ki!=i || kj!=j)    g[i][j][k]=(g[i][j][k]-(LL)g[ki][kj][k]*C[i][ki]%P*C[j][kj]%P)%P;
    33                 g[i][j][k]=(g[i][j][k]%P+P)%P;
    34             }
    35     
    36     LL ans=0;
    37     f[0][0][0]=1;
    38     for (int i=1;i<=n;i++)
    39         for (int j=1;j<=m;j++)
    40             for (int k=1;k<=c;k++) {
    41                 for (int ki=0;ki<=i;ki++)
    42                 for (int kj=0;kj<=j;kj++)
    43                     if ((i-ki)*(j-kj)>=a[k])
    44                     f[i][j][k]=(f[i][j][k]+(LL)f[ki][kj][k-1]*C[n-ki][i-ki]%P*C[m-kj][j-kj]%P*g[i-ki][j-kj][a[k]]%P)%P;
    45                 if (k==c) ans=(ans+f[i][j][k])%P;
    46             }
    47     cout<<ans<<endl;
    48     return 0;
    49 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/clno1/p/11653446.html
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