[Noip2019]括号树
一.前言
回想起去年在考场上的暴力依旧是那么的悲伤……，题目链接。
二.思路
首先啊，题目将合法括号串的定义讲的明明白白的了，也就是告诉了我们如何构造合法括号串的方法
- 我们可以在一个合法的括号串外面套一个匹配的括号串
- 我们可以匹配好一个之后和前面紧挨着的合法括号串拼在一起
同时这里声明一下，通过第一种方法构造出来的括号串对于总体来说只算新增了一个，而第二种方法新增的个数取决于前面紧挨着的合法串有多少个。
那么开始假设情景，题目已经很明确的告诉了你是在根到当前节点的这一串序列上操作，那么假设我们通过某种方式已经得到了一个串k
例如
那么该串各个位上的对于答案分别的贡献为 (0~0~1~0~1~0) ,如果记 (ans[i]) 表示到第 i 位为止共有多少个合法串的话，那么 ans 数组就应该为 (0~0~1~1~2~2)，所以说最终的答案为二。
很显然的，ans 数组是为贡献数组的前缀和，而所谓的贡献数组可以换种说法叫做，“以 i 结尾的合法括号串的个数“，那么点缀和也就可以很好地理解了。方便起见我们称贡献数组为 (f[]), ans 数组为 (sum[]) ,毕竟前缀和。
然后用这些数组我们基本上已经可以开始状态转移了。
对于一个插入的左括号，很显然，它并不会让答案变多，反而会增加一个寻找匹配的括号。而插入的一个右括号，则是会找到一个左括号去进行匹配并更新答案。很显然的，这个右括号必然会与离它最近的左括号匹配。这里可以反证法
若是不与离它最近的左括号 a 进行匹配，反而去跟更远的 b 匹配，那么在 b 和这个右括号之间还有一个孤单的左括号 a 不符合构成合法括号串的定义1.
匹配之后当然进行更新答案。这里我们运用到了一个"离它最近的左括号"，可以用数组 (last[]) 预处理出来，若是插入一个左括号，直接 last 等于这个左括号就好，如果是一个右括号，则是匹配，更新答案与 (last[]),这里放一段核心代码。
//fa[i]表示父亲，实际上在序列中看等同于上一个括号
if(a[i]==0){//0是左括号
last[i]=i;
f[i]=0LL;
sum[i]=sum[fa[i]];//直接继承父亲
}
else{
if(last[fa[i]]!=0)f[i]=f[fa[last[fa[i]]]]+1;//注意一定要判断前面的最近左括号有没有
last[i]=last[fa[last[fa[i]]]];//稍微复杂，可以画图理解
sum[i]=sum[fa[i]]+f[i];//前缀和奥
}
ans^=(i*1LL*sum[i]);
那么处理完这些基础问题之后，在这道题中还有一个很关键的点： (1 ≤ f_u < u1≤f_u<u) ,那么这个条件有什么作用呢？就是如果我们按照下标以此去计算的话，父亲节点绝对是已经计算过的。这样一遍for就可以啦。
三.CODE
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=5*100001;
int n,a[MAXN],fa[MAXN],last[MAXN];
long long f[MAXN],sum[MAXN],ans;
int main(){
scanf("%d
",&n);
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=getchar()-'(';
for(int i=2;i<=n;++i)scanf("%d",&fa[i]);
for(int i=1;i<=n;ans^=(i*1LL*sum[i]),++i)
if(a[i]==0)last[i]=i,sum[i]=sum[fa[i]];
else{
if(last[fa[i]]!=0)f[i]=f[fa[last[fa[i]]]]+1;
last[i]=last[fa[last[fa[i]]]],sum[i]=sum[fa[i]]+f[i];
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
稍微压了一下行~（其实有更短的 dark 魔法版本……)