[做题记录-乱做]Luogu3687 [ZJOI2017]仙人掌

题意

给你张无自环无重边的无向连通图， 求有多少种方案加边使得这个图是仙人掌。
(n leq 5 imes 10^5)

题解

牛逼题。
考虑这么搞， 把环上的边断掉因为环上的边肯定没用。然后问题转化到树上， 把所有树的答案乘起来就是答案。
按照套路设(f_x)表示(x)子树内没有向上的边的方案数， (g_x)表示(x)子树内有向上的边的方案数。
如果直接转移， 那么在考虑一个点(x)的儿子的时候， 每条边都不知道是不选还是选， 选出来也不知道如何去配对， 那么配对的时候需要求一个数组(h)表示这么多个点合并起来的方案数， 同时还要使用多项式， 对每个点构造一个多项式(gx + f)然后分治(FFT)求出系数。然后就(n log_2^2 n)了。
但是这里有一个很神奇的转化， 让不被覆盖的边看成自己被覆盖， 那么问题变成了要求每条边都被覆盖。这个问题的话你发现每个儿子必须有边延伸出来， 然后你可以在每个点直接考虑儿子的情况。
具体来说有下面的转移：

[h_i = h_{i - 1} + h_{i - 2} (i - 1) \ f_x = h_{dx}prod_{y in son_x}g_y \ g_x = prod_{y in son_x}h_{dx} + sum_{y in son_x}g_y imes prod_{z in son_x, z eq y} g_zh_{dx - 1} =prod_{y in son_x}g_yh_{dx + 1}]

(h)就是用来配对的那个数组。
然后问题就在于判断仙人掌了， 这个可以直接(dfs + stack)， 注意判断是否进入环的时候用(dfn)不要用(vis)！

/*
	QiuQiu /qq
  ____    _           _                 __                
  / __   (_)         | |               / /                
 | |  | |  _   _   _  | |  _   _       / /    __ _    __ _ 
 | |  | | | | | | | | | | | | | |     / /    / _` |  / _` |
 | |__| | | | | |_| | | | | |_| |    / /    | (_| | | (_| |
  \___\_ |_|  \__,_| |_|  \__, |   /_/      \__, |  \__, |
                            __/ |               | |     | |
                           |___/                |_|     |_|
*/

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

class Input {
	#define MX 1000000
	private :
		char buf[MX], *p1 = buf, *p2 = buf;
		inline char gc() {
			if(p1 == p2) p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, MX, stdin);
			return p1 == p2 ? EOF : *(p1 ++);
		}
	public :
		Input() {
			#ifdef Open_File
				freopen("a.in", "r", stdin);
				freopen("a.out", "w", stdout);
			#endif
		}
		template <typename T>
		inline Input& operator >>(T &x) {
			x = 0; int f = 1; char a = gc();
			for(; ! isdigit(a); a = gc()) if(a == '-') f = -1;
			for(; isdigit(a); a = gc()) 
				x = x * 10 + a - '0';
			x *= f;
			return *this;
		}
		inline Input& operator >>(char &ch) {
			while(1) {
				ch = gc();
				if(ch != '
' && ch != ' ') return *this;
			}
		}
		inline Input& operator >>(char *s) {
			int p = 0;
			while(1) {
				s[p] = gc();
				if(s[p] == '
' || s[p] == ' ' || s[p] == EOF) break;
				p ++; 
			}
			s[p] = '';
			return *this;
		}
	#undef MX
} Fin;

class Output {
	#define MX 1000000
	private :
		char ouf[MX], *p1 = ouf, *p2 = ouf;
		char Of[105], *o1 = Of, *o2 = Of;
		void flush() { fwrite(ouf, 1, p2 - p1, stdout); p2 = p1; }
		inline void pc(char ch) {
			* (p2 ++) = ch;
			if(p2 == p1 + MX) flush();
		}
	public :
		template <typename T> 
		inline Output& operator << (T n) {
			if(n < 0) pc('-'), n = -n;
			if(n == 0) pc('0');
			while(n) *(o1 ++) = (n % 10) ^ 48, n /= 10;
			while(o1 != o2) pc(* (--o1));
			return *this; 
		}
		inline Output & operator << (char ch) {
			pc(ch); return *this; 
		}
		inline Output & operator <<(const char *ch) {
			const char *p = ch;
			while( *p != '' ) pc(* p ++);
			return * this;
		}
		~Output() { flush(); } 
	#undef MX
} Fout;

#define cin Fin
#define cout Fout
#define endl '
'

using LL = long long;
using pii = pair<int, int>;

const int P = 998244353;

inline int Mod(int x) { return x + ((x >> 31) & P); }
inline void pls(int &x, int v) { x = Mod(x + v - P); }
inline void dec(int &x, int v) { x = Mod(x - v); }

const int N = 5e5 + 10;

int n, m;
struct edge {
	int to, next;
} e[N * 4];
int cnt = 1, head[N];
int stk[N * 2], top;
int bj[N * 4], vis[N * 2];

void push(int x, int y) {
	e[++ cnt] = (edge) {y, head[x]}; head[x] = cnt;
}
int dfn[N];
void clr() {
	for(int i = 1; i <= cnt; i ++) bj[i] = dfn[i] = 0;
	cnt = 1; for(int i = 1; i <= n; i ++) head[i] = 0, vis[i] = 0;
}

bool flg;

inline void addtag(int i) { bj[i] ++; bj[i ^ 1] ++; if(bj[i] > 1) { cout << 0 << endl; flg = 1; } }

void dfs1(int x, int fx) {
	//cerr << x << endl;
	dfn[x] = ++ dfn[0];
	vis[x] = 1; if(flg) return ;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
		int y = e[i].to; if(y == fx) continue;
		if(! vis[y]) {
			stk[++ top] = i; dfs1(y, x); if(flg) return ; top --;
		}
		else if(dfn[y] < dfn[x]) {
			//cerr << "Case" << endl;
			//cerr << x << endl;
			addtag(i); if(flg) return ; 
			for(int j = top; j >= 1; j --) {
				int p = stk[j];
				int now = e[p].to;
				addtag(p); if(flg) return ;
				if(e[p ^ 1].to == y) break;
			}
			
		}
	}
}

int f[N], g[N], h[N];

void dfs2(int x, int fx) {
	vis[x] = 1;
	f[x] = 1; g[x] = 0; int dx = 0;
	for(int i = head[x]; i; i = e[i].next) if(! bj[i]) {
		int y = e[i].to; if(y == fx) continue; 
		dfs2(y, x); dx ++;
		f[x] = 1ll * f[x] * g[y] % P;
	}
	g[x] = 1ll * f[x] * h[dx + 1] % P;
	f[x] = 1ll * h[dx] * f[x] % P; 
}

void solve() {
	cin >> n >> m; flg = 0; top = 0;
	for(int i = 1, x, y; i <= m; i ++) {
		cin >> x >> y;
		push(x, y); push(y, x);
	}
	dfs1(1, 0);
	if(flg) {// cerr << 312 << endl;
		clr(); return ;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) vis[i] = 0;
	h[0] = 1; h[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i ++) h[i] = (h[i - 1] + 1ll * h[i - 2] * (i - 1) % P) % P;
	int ans = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) if(! vis[i]) {
		dfs2(i, 0);
		ans = 1ll * ans * f[i] % P;
	}
	cout << ans << endl;
	clr();
}

int main() {
	int Case; cin >> Case;
	while(Case --) solve();
	return 0;
}