最小费用最大流问题及ADT

在总流量最大的前提下，总费用最小的流为最小费用最大流。

分别用$c$和$a$表示每条边的容量和费用。

和最大流问题的区别要注意的是：可能存在平行边，它们的费用不同，所以无法合并这两条弧。（先假设图存在平行边和反向边），这样就可以用邻接矩阵cap和cost来保存各边的容量和费用了。

最小费用路算法和EK算法类似，但是每次用Bellman-Ford算法来找增广路。只要初始流是该流量下的最小费用可行流，每次增广后的新流都是新流量下的最小费用流。

cost最好用longlong保存减小溢出可能

ADT:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

const int INF = 1000000000;
const int maxn = 1000;

struct Edge{
    int from, to, cap, flow, cost;
    Edge(int u, int v, int c, int f, int w):from(u), to(v), cap(c), flow(f), cost(w){}
};

struct MCMF{
    int n,m;
    vector<Edge> edges;
    vector<int> G[maxn];
    int inq[maxn]; //是否在队列中
    int d[maxn]; //Bellman-Ford
    int p[maxn]; //上一条弧
    int a[maxn]; //可改进量
    
    void init(int n){
        this->n = n;
        for(int i=0;i<n;i++){
            G[i].clear();
        }
        edges.clear();
    }
    
    void AddEdge(int from, int to, int cap, int cost){
        edges.push_back(Edge(from,to,cap,0,cost));
        edges.push_back(Edge(to,from,0,0,-cost));
        m = edges.size();
        G[from].push_back(m-2);
        G[to].push_back(m-1);
    }
    
    bool BellmanFord(int s, int t, int& flow, long long& cost){
        for(int i=0;i<n;i++){
            d[i] = INF;
        }
        memset(inq, 0, sizeof(inq));
        d[s] = 0;
        inq[s] = 1;
        p[s] = 0;
        a[s] = INF;
        
        queue<int> Q;
        Q.push(s);
        while(!Q.empty()){
            int u = Q.front();
            Q.pop();
            inq[u] = 0;//出队
            for(int i =0;i<G[u].size();i++){
                Edge& e=edges[G[u][i]]; //用e（带地址符）来代替后面一长串是很方便的写法，表示这条边
                if(e.cap>e.flow&&d[e.to]>d[u]+e.cost){
                    d[e.to] = d[u]+e.cost;
                    p[e.to] = G[u][i];
                    a[e.to] = min(a[u],e.cap-e.flow);
                    if(!inq[e.to]){
                        Q.push(e.to);
                        inq[e.to] = 1;
                    }
                }
            }
        }
        if(d[t]==INF){
            return false;
        }
        flow += a[t];
        cost += (long long)d[t]*(long long)a[t];
        for(int u=t;u!=s;u=edges[p[u]].from){
            edges[p[u]].flow += a[t];
            edges[p[u]^1].flow -= a[t]; //反向边（在edge中两条边相邻）
        }
        return true;
    }
    
    //需要保证初始网络中没有负权圈（BellmanFord不能处理）
    int MincostMaxflow(int s, int t, long long& cost){
        int flow = 0;
        cost = 0;
        while(BellmanFord(s, t, flow, cost));
        return flow;
    }
};