高等数学-导数&洛必达法则

导数

简介

导数是一种很有用的工具，在抽象问题和实际问题的解决中都有着重要意义

在物理学中，我们熟知的“S-T图”可以把路程与时间的关系表示出来，我们可以用一个函数 (f(x)) 来表达这种关系

在函数上自变量的变化会让函数值发生一定的变化，我们用 (Delta x) 来表示这段自变量的变化，那么函数值的变化就可以表示为 (Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0))，值 (frac{Delta y}{Delta x}=frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}) 所表示的意义就是函数 (f(x)) 在 (x_0) 到 (x_0+Delta x) 的平均变化率，也就是我们在“S-T图”中的“平均速率”，而当 (Delta x) 趋近于 (0) 时，(limlimits_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}) 就表示函数值在 (x_0) 处的平均变化率，也就是我们在“S-T图”中的“瞬时速率”，其实这就是导数

定义

若函数 (y=f(x)) 在其定义域中的一点 (x_0) 处的极限

[lim_{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x o 0}frac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x} ]

存在，则称 (f(x)) 在 (x_0) 处可导，并称这个极限值为 (f(x)) 在 (x_0) 处的导数，也叫导函数值，记为 (f'(x_0)) 或 (y'_{x_0})

若函数 (y=f(x)) 在某一区间上的每一点都可导，则称 (f(x)) 在这个区间上可导，(f'(x)) 就称为这个区间上的导函数，也叫简称为导数，导数和导函数的称呼有些模糊不清

常用导数

若 (f(x)=x^a(x>0)) 则 (f'(x)=ax^{a-1})

若 (f(x)=sin x) 则 (f'(x)=cos x)

若 (f(x)=cos x) 则 (f'(x)=-sin x)

若 (f(x)=ln x) 则 (f'(x)=frac 1x)

若 (f(x)=log_ax) 则 (f'(x)=frac 1{xln a})

若 (f(x)=e^x) 则 (f'(x)=e^x)

若 (f(x)=a^x(ain(0,1)cup(1,+infty))) 则 (f'(x)=a^xln a)

这些导数非常常用，一定要牢记，至于具体推导可以自行尝试或是查阅相关资料

运算法则

设 (f(x),g(x)) 在某一区间上可导，则 (c_1f(x)+c_2g(x)) ((c_1,c_2) 为常数)和 (f(x)g(x)) 可导，若 (g(x) e0) 则 (frac{f(x)}{g(x)}) 也可导，导数如下

[[c_1f(x)+c_2g(x)]'=c_1f'(x)+c_2g'(x)\ [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ left[frac{f(x)}{g(x)} ight]'=frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} ]

复合函数求导

对于两个函数 (y=f(x), mu=g(x))，如果可以通过变量 (mu) 将 (y) 表示成 (x) 的函数，那么就称这个函数为函数 (y=f(x)) 和 (mu=g(x)) 的复合函数，记作 (y=f(g(x)))

复合函数 (y=f(g(x))) 的导数与函数 (y=f(x), mu=g(x)) 间的关系为 (y'_x=y'_mucdotmu'_x)

即 (y) 对 (x) 的导数等于 (y) 对 (mu) 的导数与 (mu) 对 (x) 的导数的乘积

练习

1.求 (y=3^xcos x) 的导数.

解：

[y'_x=3^xcdot(cos x)'+cos xcdot(3^x)' =-3^xsin x+3^xln 3cos x ]

2.求 (y= an x) 的导数

解：

[egin{align*} y'_x&=(frac{sin x}{cos x})'\ &=frac{(sin x)'cos x-(cos x)'sin x}{cos^2x}\ &=frac 1{cos^2x} end{align*} ]

3.求 (y=e^{sqrt{1+cos x}}) 的导数

解：

设 (f(x)=e^x, g(x)=sqrt{x}, h(x)=1+cos x)

则 (y=f(g(h(x))))

那么有

[y'_x=(1-sin x)cdotfrac12(1+cos x)^{-frac12}cdot e^{sqrt{1+cos x}} ]

洛必达法则

在函数求极限时，常常会出现 (frac00) 或者 (frac{infty}{infty}) 之类的情况，需要对于极限进行转换，比较麻烦

利用求导，我们可以使用洛必达法则方便地计算出结果

法则

若函数 (f(x),g(x))

1.满足 (limlimits_{x o x_0}f(x)=0) 且 (limlimits_{x o x_0}g(x)=0) 或满足 (limlimits_{x o x_0}f(x)=infty) 且 (limlimits_{x o x_0}g(x)=infty)

2.在 (x_0) 的去心邻域均可导且 (g'(x) e0)

3.(limlimits_{x o x_0}frac{f'(x)}{g'(x)}=a)，其中 (a) 为有限实数或 (pminfty)

则有

[lim_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x o x_0}frac{f'(x)}{g'(x)}=a ]

转换

洛必达法则只适用于“ (frac 00) 型”或是“ (frac{infty}{infty}) 型”，但是经过简单的转换我们就可以将其他的类型比如" (0cdotinfty, 1^{infty}, 0^0, infty^0, infty-infty) 型"转换为这两种类型

(0cdotinfty) 型

把极限为 (0) 或 (infty) 的部分取倒数作为分母即可转换为“ (frac 00) 型”或是“ (frac{infty}{infty}) 型”

(infty-infty) 型

把两个极限为 (infty) 的部分用两个极限为 (0) 的部分的倒数替换，再通分即可转换为“ (frac 00) 型”

(1^infty, 0^0, infty^0) 型

利用对数性质 (e^{ln{a}}=a) 我们把 (1^infty) 的部分换到 (e) 的指数上，然后再利用 (log_ab^c=clog_a{b}) 把 (infty) 拿到 (ln) 的前面去，就能转换为 (0cdotinfty) 型

[1^{infty}=e^{ln{1^infty}}=e^{inftyln1}=e^{inftycdot0} ]

注意事项

使用洛必达法则时必须满足法则要求，不满足的转换后才能尝试使用

洛必达法则不能用于求解数列的极限，仅能用于函数求极限，这一点也需要注意

练习

1.计算极限 (limlimits_{x o0}(cos x)^{frac1{x^2}})

解：原极限为 (1^infty) 型，利用对数进行转换

[lim_{x o0}(cos x)^{frac1{x^2}} =lim_{x o0}e^{ln(cos x)^{frac1{x^2}}} =lim_{x o0}e^{frac{ln(cos x)}{x^2}} =e^{limlimits_{x o0}frac{ln(cos x)}{x^2}} ]

转换为 (frac 00) 型，现在暂时只看 (e) 的指数，使用洛必达法则，进行求导

[lim_{x o0}frac{ln(cos x)}{x^2} =lim_{x o0}frac{-frac{sin x}{cos x}}{2x} =-frac 12lim_{x o0}frac{sin x}{xcos x} ]

极限部分仍旧是 (frac 00) 型，再次使用洛必达法则

[-frac 12lim_{x o0}frac{sin x}{xcos x} =-frac 12lim_{x o0}frac{cos x}{xcdot(cos x)'+cos xcdot(x)'} =-frac 12lim_{x o0}frac{cos x}{-xsin x+cos x} ]

此时可以直接代入 (x=0)，得到

[ -frac 12limlimits_{x o0}frac{cos x}{-xsin x+cos x}=-frac 12cdotfrac 11=-frac 12 ]

综上

[limlimits_{x o0}(cos x)^{frac1{x^2}}=e^{-frac 12} ]

2.计算极限 (limlimits_{x o1}left(frac2{x^2-1}-frac1{x-1} ight))

解：该极限是 (infty-infty) 型，由于已经是两个无穷小的倒数，直接通分转换为 (frac 00) 型

[lim_{x o1}left(frac2{x^2-1}-frac1{x-1} ight)=lim_{x o1}frac{-x+1}{x^2-1} ]

使用洛必达法则

[lim_{x o1}frac{-x+1}{x^2-1}=lim_{x o1}-frac1{2x}=-frac 12 ]

3.计算极限 (limlimits_{x o0}x^2e^{frac1{x^2}})

解：该极限是 (0cdotinfty) 型，把无穷小或无穷大转换到分母上

[lim_{x o0}frac{e^{frac1{x^2}}}{frac1{x^2}} ]

然后考虑换元，令 (t=frac1{x^2})，那么 (limlimits_{x o0}t=limlimits_{x o0}frac1{x^2}=+infty)，原式就变为

[lim_{t o+infty}frac{e^t}t ]

是 (frac{infty}{infty}) 型，使用洛必达法则

[lim_{t o+infty}frac{e^t}t=lim_{t o+infty}frac{e^t}1=+infty ]

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