HDU 2068 RPG错排 [错排公式]

1.题意：1到N的序列的排列中，元素位置与元素值相对应的情况（值为i的元素在某个排列中正好排在第i个位置）大于等于序列规模一半的情况，有多少个？

2.输入输出：每组数据一个数，N，规定输入以0结尾；

3.分析：原题意换句话说，就是针对1到N的全排列，错排元素的个数小于等于N的情况有多少；

那么，输出即为：    ，其中F[i]表示1到i的错排方案数，后面一项为组合数，即选取i个错排；

这里推导一下错排公式，F[N]表示1到N的错排方案；第一步:选取N放到1到N-1之中任意一个位置，这样就有N-1种放法；第二步：分两种情况，不妨设第一步被N占据的位置为K，当位置N放置的数恰巧为K时，此时就相当于,K,N交换位置了，对应的错排方案为F[N-2];当位置N放置的数不为K时，此时的情况：1到K-1，K+1到N的位置要错排放置1到N-1的元素，N-1个 位置，N-1个元素，与F[N-1]的情况相比，只是多了一组（数K与位置N）的对应，而且这里N不放置K，就等效于普通的情况下（数K与位置K）的错排情况；举个例子，位置12345，数12345，现在5放置在2的位置上，剩下数1234，位置1345，且位置5上不放2，这里和1234-1234的错排有什么区别么？把位置5当成位置2，反正也是2不放在位置5上，与1234-1234里2不放在位置2上等效；综上所述，错排公式为F[i]=(i-1)*(F[i-1]+F[i-2]),其中，F[1]=0，F[2]=1；

# include <iostream>
# include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=26;
int dp[MAXN];
int N;
long long Cn(int n,int m)
{
    if(n==0) return 1;
    n=m-n>n?n:m-n;
    long long up,down;
    up=down=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        up*=m-i+1;
        down*=i;
    }
    long long res=up/down;
    return res;
}
void Init()
{
    dp[0]=1;
    dp[1]=0;
    dp[2]=1;
    for(int i=3;i<15;i++)
        dp[i]=(i-1)*(dp[i-1]+dp[i-2]);
}
int main()
{
    Init();
    while(scanf("%d",&N)!=EOF)
    {
        if(N==0) break;
        long long res=0;
        for(int i=0;i<=N/2;i++)
            res+=dp[i]*Cn(i,N);
        printf("%lld
",res);
    }
    return 0;
}