动态规划与背包问题

动态规划与背包问题

 

 

应用场景-背包问题

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

 

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复

 

 

 

动态规划算法介绍

1. 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2. 动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3. 与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4. 动态规划可以通过填表的方式（便于理解）来逐步推进，得到最优解.

 

 

应用场景-背包问题-解决思路

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(S)	4	3000
电脑(L)	3	2000

 

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1. 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2. 要求装入的物品不能重复
3. 思路分析和图解

算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：
       (1)  v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0

               (2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]   // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量         时，就直接使用上一个单元格的装入策略

                (3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}  

// 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,

// 装入的方式:

v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i] : 表示当前商品的价值

v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值

v[i]+v[i-1][j-w[i]] 就是先把当前商品加入背包 再加入当前剩余空间可以放的最大价值的商品 （上面那句不好理解 看这句 直接就解释了后半句是什么意思）

max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} 看那个策略可以放入价值更高的商品

当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

 

 

使用填表过程来理解背包问题 先是自己用人的思维

再把公式代入 找一个结果 进行验算 理解这个公式

 

 

完整代码

    package com.atguigu.dynamic;
    
    public class KnapsackProblem {
    
            public static void main(String[] args) {
                    // TODO Auto-generated method stub
                    int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
                    int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
                    int m = 4; //背包的容量
                    int n = val.length; //物品的个数
                    
                    
                    
                    //创建二维数组，
                    //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值 可以找一个坐标 去验证是否是最大价值
                    int[][] v = new int[n+1][m+1];
                    //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
                    int[][] path = new int[n+1][m+1];
                    
                    //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
                    for(int i = 0; i < v.length; i++) {
                            v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
                    }
                    for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
                            v[0][i] = 0; //将第一行设置0
                    }
                    
                    
                    //根据前面得到公式来动态规划处理
                    for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
                            for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
                                    //公式
                                    if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                                            v[i][j]=v[i-1][j];
                                    } else {
                                            //说明:
                                            //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
                                            //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                                            //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                                            //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
                                            //理解过来就是 原策略价值不如  现在加入当前商品和剩余空间加入最大价值商品  的总和
                                            if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                                                    v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                                                    //把当前的情况记录到path  最优的情况（原策略价值不如  现在加入当前商品和剩余空间加入最大价值商品  的总和
                                                    ）
                                                    path[i][j] = 1;
                                            } else {
                                                    v[i][j] = v[i - 1][j];  
                                            }
                                            
                                    }
                            }
                    }
                    
                    //输出一下v 看看目前的情况  就是打印那张表
                    for(int i =0; i < v.length;i++) {
                            for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
                                    System.out.print(v[i][j] + " ");
                            }
                            System.out.println();
                    }
                    
                    System.out.println("============================");
                    //输出最后我们是放入的哪些商品
                    //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
    //        for(int i = 0; i < path.length; i++) {
    //            for(int j=0; j < path[i].length; j++) {
    //                if(path[i][j] == 1) {
    //                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包
", i);
    //                }
    //            }
    //        }
            
            //动脑筋  将最优的解中的商品输出 是通过计算出来的 
            int i = path.length - 1; //行的最大下标
            int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
            while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
                    if(path[i][j] == 1) {
                            System.out.printf("第%d个商品放入到背包
", i); 
                            j -= w[i-1]; //w[i-1]   //将容量-放入的这个商品的容量  所以再只能在剩余容量范围内的商品中找  相当于去除了一些不符合的数据
                            //自己回溯 找path[i][j] == 1 
                            //第一次循环完了 i= 2 j = 1
                            //发现path[2][1] 当时不是最优 所以是选取的上一个表格的值 也就是path[1][1] 的值 
                    }
                    i--;
                    
            }
            
            }
    
    }