[LeetCode] 343. Integer Break

Given a positive integer n, break it into the sum of at least two positive integers and maximize the product of those integers. Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

Example 2:

Input: 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.

Note: You may assume that n is not less than 2 and not larger than 58.

整数拆分。题意是给一个整数n，请你把它拆分成2个或者更多个正整数，使得拆分下来的数字之间的乘积是最大的。

我简单试了几个例子，比如2，只能拆成1x1 = 1，这没什么可说的；3可以拆成1x1x1 = 1但是这毫无意义，拆成1x2 = 2的结果都比它大；4可以拆成1x3 = 3或者2x2 = 4；5可以拆成1x4 = 5或者2x3 = 6；6可以拆成1x5 = 5或者2x4 = 8；7可以拆成1x6 = 6或者2x2x3 = 12；8可以拆成1x7 = 7或者2x2x2x2 = 16。

注意到为了要使乘积更大，首先1xN这种情况肯定不会使乘积更大，那么就试着试一些因数比1大的情形。你会发现乘积比较大的结果，因数总是往2和3上靠近，因为这样可以使得因子更多。同时发现一个数字被分解后得到的最大乘积既然最后总是往2和3靠近，那么这里面就一定有重复计算。我这里找个一张截图解释数字如何拆分，实际上这个题也是可以用动态规划做的。

动态规划的定义是dp[i]表示数字i被拆分后能得到的最大乘积。转移方程是dp[i] = k * (i - k) 或者dp[i] = dp[k] * dp[i - k]，0 < k < i

意思是dp值有可能是一个数被拆解成两个数字（小于6的情况），或者是这个数字可以被拆解成更多个因子，只不过是后面第二种情况dp[k] * dp[i - k]事实上是对之前的答案有储存。

时间O(n)

空间O(n)

Java实现

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], (i - j) * j);
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] * (i - j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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