[LeetCode] 123. Best Time to Buy and Sell Stock III

Say you have an array for which the ith element is the price of a given stock on day i.

Design an algorithm to find the maximum profit. You may complete at most two transactions.

Note: You may not engage in multiple transactions at the same time (i.e., you must sell the stock before you buy again).

Example 1:

Input: prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
Output: 6
Explanation: Buy on day 4 (price = 0) and sell on day 6 (price = 3), 
profit = 3-0 = 3. Then buy on day 7 (price = 1) and sell on day 
8 (price = 4), profit = 4-1 = 3.

Example 2:

Input: prices = [1,2,3,4,5]
Output: 4
Explanation: Buy on day 1 (price = 1) and sell on day 5 (price = 5), 
profit = 5-1 = 4. Note that you cannot buy on day 1, buy on day 2 and 
sell them later, as you are engaging 
multiple transactions at the same time. You must sell before buying again.

Example 3:

Input: prices = [7,6,4,3,1]
Output: 0
Explanation: In this case, no transaction is done, i.e. max profit = 0.

Example 4:

Input: prices = [1]
Output: 0

Constraints:

• 1 <= prices.length <= 105
• 0 <= prices[i] <= 105

买卖股票的最佳时机III。题意跟之前两个版本类似，也是给一个数组，表示每天的股价。这道题给的题设是如果允许你最多买卖两次，请你返回最大利润。

思路依然是动态规划。这道题我还是参考了一个写的非常好的题解。这里我们依然需要一个二维数组dp[][]。其中第一维的长度是数组的长度len，第二维的长度是5，这里只有可能是五个数字0，1，2，3，4。这里第一维代表的就是遍历到某个位置的DP值，第二维表示的是在当前位置是否持有股票。注意这里的不持有不是一直不买，而是卖出之后的不持有。五个数字的定义如下，

• 0 - 没有任何交易的时候
• 1 - 第一次买
• 2 - 第一次卖
• 3 - 第二次买
• 4 - 第二次卖

根据这个定义，我们能得出几个结论，

所有的dp[i][3]都需要定义成Integer.MIN_VALUE。因为第一次买入都没发生的时候，第二次的买入就更加无从谈起

所有的dp[i][0]都是0，因为没有交易就不会有收益

最后的收益只有可能是从第一次卖或者第二次卖之后得到的，因为不卖出就没有收益

时间O(n)

空间O(mn) - 二维数组

Java实现

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        // corner case
        if (len < 2) {
            return 0;
        }
        // dp[i][j] ，表示 [0, i] 区间里，状态为 j 的最大收益
        // j = 0：什么都不操作
        // j = 1：第 1 次买入一支股票
        // j = 2：第 1 次卖出一支股票
        // j = 3：第 2 次买入一支股票
        // j = 4：第 2 次卖出一支股票
        // 初始化
        int[][] dp = new int[len][5];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        // 3 状态都还没有发生，因此应该赋值为一个不可能的数
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            dp[i][3] = Integer.MIN_VALUE;
        }
        // 状态转移只有 2 种情况：
        // 情况 1：什么都不做
        // 情况 2：由上一个状态转移过来
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            // j = 0 的值永远是 0
            dp[i][0] = 0;
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        // 最大值只发生在不持股的时候，因此来源有 3 个：j = 0 ,j = 2, j = 4
        return Math.max(0, Math.max(dp[len - 1][2], dp[len - 1][4]));
    }
}

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