矩阵分解推荐算法（LMF）

首先我们现在有一个矩阵(R_{mn})，其中(R_{ij})代表第(i)个用户对第(j)个商品的喜爱程度。

(LMF)算法认为每个商品上面都有一些隐因子，而顾客的喜爱程度是由这些隐因子来决定的。因此便可以将(R_{mn})分解成(P_{mF} imes Q_{Fn})的形式。
矩阵(P_{mF})代表了这(m)个用户对(F)个隐因子的喜爱程度，(Q_{Fn})代表这(F)个隐因子在这(n)个商品上的分布概率。

[R'_{ij}=sum_{f=1}^F {P_{if}Q_{fj}} ]

我们最终的目的是使得(R_{ij})和(R'_ {ij})尽可能的相近。因此，损失函数为:

[f(P,Q)=sum{(R_{ij}-R'_{ij})^2} ]

为了防止过拟合，需要加上一个正则项来防止(P_{if},Q_{fj})过小或过大。

[f(P,Q)=sum{(R_{ij}-R'_{ij})^2}+lambda(sum{(P_{if}^2}+sum{Q_{fj}^2}) ]

接下来就是对这个函数用梯度下降进行拟合，递推式为：

[P_{k+1}=P_{k}-alphafrac{partial f(P,Q)}{partial P_k} ]

[Q_{k+1}=Q_{k}-alphafrac{partial f(P,Q)}{partial Q_k} ]

这样我们采用梯度下降算法即可获得(R')矩阵

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy
##将R_nm分解成P_nk*Q_km
def MF(R,P,Q,K,times=100000,alp=0.0001,lb=0.01):
  #  Q=Q.T
    for steps in range(times):# 迭代次数
        for u in range(len(R)):
            for i in range(len(R[u])):
                if R[u][i]>0:
                    delta=R[u][i]-numpy.dot(P[u,:],Q[:,i])
                for f in range(K):
                    P[u][f]=P[u][f]+2*alp*(delta*Q[f][i]-lb*P[u][f])#递推运算
                    Q[f][i]=Q[f][i]+2*alp*(delta*P[u][f]-lb*Q[f][i])
    return P,Q
if __name__ == "__main__":
    R=[
        [5,3,0,1],
        [4,0,0,1],
        [1,1,0,5],
        [1,0,0,4],
        [0,1,5,4]
    ]
    K=2
    n=len(R)
    m=len(R[0])
    ##随机生成P,Q矩阵
    P=numpy.random.rand(n,K)
    Q=numpy.random.rand(K,m)
    ##矩阵分解
    ansp,ansq=MF(R,P,Q,K)
    ansR=numpy.dot(ansp,ansq)
    print(ansR)