第八章 （一）分治 练习题

练习题一：最大连续和问题：长度为n的序列，求最大连续和。

/**
     * 最大连续和问题：长度为n的序列，求最大连续和。
     * 枚举解法
     * 时间复杂度O(n^3)
     * @param a
     */
    public static int test1(int[] a) {
        int max=a[0];
        for(int i=0;i<a.length;i++) {
            for(int j=i;j<a.length;j++) {
                int sum=0;
                for(int m=i;m<=j;m++) {//求[i,j]的和
                    sum+=a[m];
                }
                if(sum>max)max=sum;
            }
        }
        return max;
    }
    /**
     * 最大连续和问题：长度为n的序列，求最大连续和。
     * S[i]表示a[0]+...+a[i]则S[j]-S[i-1]表示[i，j]的和
     * 时间复杂度：O(n^2)
     * @param a
     */
    public static int test2(int[] a) {
        //求S[i]
        int[] s=new int[a.length];
        s[0]=a[0];
        for(int i=1;i<a.length;i++) {
            s[i]=s[i-1]+a[i];
        }
        int max=s[0];
        for(int i=1;i<a.length;i++) {
            for(int j=i;j<a.length;j++) {
                if(s[j]-s[i-1]>max)
                    max=s[j]-s[i-1];
            }
        }
        return max;
    }
    /**
     * 最大连续和问题：长度为n的序列，求最大连续和。
     * 对test2的优化，s[j]-s[i-1]对于确定的j，s[i-1]越小结果越大，记录当前出现的最小值
     * 时间复杂度O(n)
     * @param a
     */
    public static int test3(int[] a) {
        //求S[i]
        int[] s=new int[a.length];
        s[0]=a[0];
        for(int i=1;i<a.length;i++) {
            s[i]=s[i-1]+a[i];
        }
        int min=s[0],max=s[0];
        for(int i=1;i<a.length;i++) {
            if(s[i]-min>max) max=s[i]-min;
            if(s[i]<min) min=s[i];
        }
        return max;
    }
    /**
     *  最大连续和问题：长度为n的序列，求最大连续和。
     * 分治算法
     * 时间复杂度O(nlogn)
     * @return
     */
    public static int test4(int[] a,int x,int y) {
        if(y-x==1) return a[x];//只剩一个元素，直接返回
        //划分
        int m=x+(y-x)/2;
        int maxs=Math.max(test4(a,x,m), test4(a,m,y));//[x,m) [m,y)
        int v=0,L,R;
        //从m向右
        L=a[m];
        for(int i=m;i<y;i++) {
            L=Math.max(L, v+=a[i]);
        }
        //从m-1向左
        v=0;R=a[m-1];
        for(int i=m-1;i>=x;i--) {
            R=Math.max(R, v+=a[i]);
        }
        return Math.max(maxs, L+R);
    }

 可以看到本问题的分治法解法，将对数组求最大连续和的问题划分为求[x,m)[m,y)的最大值，以及在[x,y)之间的连续最大值的起点和终点（所以它算法是以m为划分点向两边扩散开，最后把L+R合并），这三个子问题，逐步求解

 DP解法： 

/**
     * 求解最大子段和
     */
    public static void test(int[] a) {
        int[] b=new int[a.length];//从i到n最大的最大和
        //b[i]=max(a[i],b[i+1]+a[i])
        b[a.length-1]=a[a.length-1];
        int maxsum=Math.max(b[a.length-1], 0);
        for(int i=a.length-2;i>=0;i--) {
            if(b[i+1]>0)
                b[i]=b[i+1]+a[i];
            else
                b[i]=a[i];
            if(b[i]>maxsum) {
                maxsum=b[i];
            }
        }
    }

 进行空间优化，观察可知b数组只用到了b[i+1]，所以只需保存b[i+1]即可，但是这样最优解就会变得难求

/**
     * 求解最大子段和
     */
    public static void test(int[] a) {
        int b=a[a.length-1];
        int maxsum=Math.max(b, 0);
        for(int i=a.length-2;i>=0;i--) {
            if(b>0)
                b=b+a[i];
            else
                b=a[i];
            if(b>maxsum) {
                maxsum=b;
            }
        }
    }

 练习题二：排序和搜索

合并排序（求逆序对数）

快速排序（求从小到大第k个数）

二分查找

练习题三：大整数乘法

设X和Y都是n位二进制数现在要计算他们的乘积XY。

按正常的乘法规则要做n²次一位数的乘法，计算步骤太多。下面用分治法来解决此问题：

将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如图所示。

由此，X=A2^n/2+B ，Y=C2^n/2+D。（计组里面乘法的原理）这样，X和Y的乘积为：
XY=(A2^n/2+B)(C^2n/2+D)=AC2ⁿ+(AD+CB)2^n/2+BD  (1)  

计算时间复杂度:

T(1)=1

T(n)=4T(n/2)+O(n)

解得T(n)=O(n2)。由此可见，仍需要n²次乘法

XY=AC2ⁿ+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2^n/2+BD     (2)
虽然，式(2)看起来比式(1)复杂些，但它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位。由此可得:

T(1)=1

T(n)=3T(n/2)+cn

其解为T(n)=O(n^log3)=O(n^1.59)

可以看到如果要降低复杂度，在分成的规模一定时，减少子问题的个数，可以降低复杂度。用多次次要矛盾代替主要矛盾

练习题四：Strassen矩阵乘法

Strassen采用了类似于在大整数乘法中用过的分治技术，将计算2个n阶矩阵乘积所需的计算时间改进到O(n^log7)=O(n^2.81)。