正规阵

正规阵定义：方阵A有$A^HA=AA^H=I$，$A in C^{n imes n}$

常见正规阵：

(1)Hermite阵都是正规阵

(2)斜Hermite阵都是正规阵

(3)酉阵都是正规阵

(4)对角阵都是正规阵

正规阵的性质：

(1)若$A = left[ {egin{array}{*{20}{c}}B&C\0&Dend{array}} ight]$正规，B和C都为方阵，则$C=0$且B和D都正规

(2)若$A = left[ {egin{array}{*{20}{c}}B&0\C&Dend{array}} ight]$正规，B和C都为方阵，则$C=0$且B和D都正规

[B{B^H} = {B^H}B + {C^H}C Rightarrow tr(B{B^H}) = tr({B^H}B) + tr({C^H}C) Rightarrow tr({C^H}C) = 0 Rightarrow sum {{c_{ij}}^2 = 0}  Rightarrow C = 0]

[C{C^H} + D{D^H} = {D^H}D Rightarrow tr(C{C^H}) + tr(D{D^H}) = tr({D^H}D) Rightarrow tr({C^H}C) = 0 Rightarrow sum {{c_{ij}}^2 = 0}  Rightarrow C = 0]

所以$C=0$，带入得：

$B{B^H} = {B^H}B$和$D{D^H} = {D^H}D$，所以B和D均为正规阵

(3)

(i)$B = left[ {egin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}& otimes & otimes & otimes \0&{{b_{12}}}& otimes & otimes \0&0&{...}& otimes \0&0&0&{{b_{nn}}}end{array}} ight]$，若B正规，则$B = left[ {egin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}&0&0&0\0&{{b_{12}}}&0&0\0&0&{...}&0\0&0&0&{{b_{nn}}}end{array}} ight]$（对角阵）

(ii)$B = left[ {egin{array}{*{20}{c}}{{b_{11}}}& otimes & otimes & otimes \0&{{b_{12}}}& otimes & otimes \0&0&{...}& otimes \0&0&0&{{b_{nn}}}end{array}} ight]$，若B为严格上三角，即对角线以上元素必有非0值，则B为非正规。

同理，下三角也有上述两条定理。

正规阵判定方法：

(1)A正规$ Leftrightarrow $$A pm cI$正规

(2)

(i)A正规$ Leftrightarrow $ $Q^{-1}AQ=Q^HAQ$正规，Q为酉阵

(i)A不正规$ Leftrightarrow $ $Q^{-1}AQ=Q^HAQ$不正规，Q为酉阵

 正规阵分解定理：若方阵A正规，则存在酉阵Q，使得$Q^{-1}AQ=Q^HAQ=D= left[ {egin{array}{*{20}{c}}{{lambda _1}}&0&0&0\0&{{lambda _2}}&0&0\0&0&{...}&0\0&0&0&{{lambda _n}}end{array}} ight]$

证明：

由Schur分解定理得到，存在酉阵Q使得

[{Q^{ - 1}}AQ = {Q^H}AQ = D = left[ {egin{array}{*{20}{c}}
{{lambda _1}}& otimes & otimes & otimes \
0&{{lambda _2}}& otimes & otimes \
0&0&{...}& otimes \
0&0&0&{{lambda _n}}
end{array}} ight]]

因为A正规，则D也正规，由正规阵的性质(3)(i)得到，D为对角阵，所以定理得证。

由正规阵分解定理可知，正规阵都是单阵。

正规谱分解：

若$A=A_{n imes n}$正规，则有正规谱分解，且全体不同根为$lambda_1,lambda_2,...,lambda_k$：则有

[A = {lambda _1}{G_1} + {lambda _2}{G_2} + ... + {lambda _k}{G_k}]

$G_i$有四个性质：

(1)$G_i+...+G_k=I$

(2)$G_iG_j=0$

(3)$G_i^2=G_i$

与普通的单阵谱分解不同，正规谱分解有这个性质(4)$G_i^H=G_I$，这是因为 正规阵分解定理中的矩阵Q是酉阵