洛谷P1809 过河问题 经典贪心问题

• 作者：zifeiy
• 标签：贪心

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1809

我们假设第 (i) 个人过河的耗时是 (t[i]) ，并且 (t[i]) 按照从小到大进行了排序（即： (t[i] le t[i+1]) ）， 并且设状态 (f[i]) 表示前 (i) 个人过河的最小花费。
此处我们的贪心基于这样一种思想：优先令 (t[i]) 大的过河。
那么：
当 (i = 1) 时，只有一个人，所以此时 (f[1] = t[1]) ；
当 (i = 2) 时，只有两个人，所以此时 (f[2] = t[2]) ；
当 (i = 3) 时，我们可以选择第1个人陪第2个人过去，再回来接第3个人；或者第1个人陪第3个人过去，再回来接第2个人，两种情况下都满足 (f[3] = t[2] + t[1] + t[3]) ；
当 (i gt 3) 时，我们要送走第 (i) 个人，有两种方式：

• 方式一：第1个人和第i个人过河，第1个人再回来，此时 (f[i] = f[i-1] + t[i] + t[1]) ；
• 方式二：第1个人和第2个人过河，第2个人再回来，第i-1个人和第i个人过来，第1个人再回来（或者：第1个人和第2个人过河，第1个人再回来，第i-1个人和第i个人多来，第2个人再回来），此时状态变化到了 (f[i-2]) ，此时 (f[i] = f[i-2] + t[2] + t[2] + t[i] + t[1]) 。

所以，当 (i gt 3) 时， (f[i] = max(f[i-1] + t[i] + t[1] , f[i-2] + t[2] + t[2] + t[i] + t[1])) 。

其实我们可以发现，对于任意一个 (f[i]) ，它的状态都是由 (f[j] (j gt i)) 演变过来的，但是我们可以通过先求解 (f[i]) ，推导出 (f[j]) ，最终获得我们的答案—— (f[n]) 。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
int n, t[maxn], f[maxn];
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> t[i];
    sort(t+1, t+1+n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (i == 1) f[i] = t[i];
        else if (i == 2) f[i] = t[2];
        else if (i == 3) f[i] = t[2] + t[1] + t[3];
        else f[i] = min(f[i-1]+t[i]+t[1], f[i-2]+t[2]+t[2]+t[i]+t[1]);
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}