莫比乌斯反演

莫比乌斯反演定理

设

和

是定义在正整数集合上的两个函数,定义如下。

则

 

 

 

莫比乌斯反演定理证明

 

充分性证明：

 

考虑到：

 

 

因此

 

 

 

必要性证明：

 

考虑到：

 

 

因此

　　

 

莫比乌斯函数

定义当

时，

当

（

为不同的质数，且次数都为1），

其余情况

注意，

函数也为积性函数。证明略。

莫比乌斯反演的性质

性质一（莫比乌斯反演公式）：

性质二：μ(n)是积性函数

性质三：设f是算术函数，它的和函数

是积性函数，那么 f 也是积性函数。