数学问题——素数

　　素数又称为质数，是指除了 1 和本身之外，不能被其他数整除的一类数。应特别注意的是，1 既不是素数，也不是合数。

　　本章将解决两个问题：1. 如何判断给定的正整数 n 是否是质数；2. 如何在较短的时间内得到 1~n 内的素数表。

一、素数的判断

　　只需要判定 n 能否被 2，3，... ，$ left lfloor sqrt(n) ight floor $ 中的一个整除，即可判断 n 是否为素数。该算法的复杂度为 O(sqrt(n))。

　　代码如下：

// 判断 n 是否为素数 
bool isPrime(int n) {
    if(n <= 1) return false;    // 特判
    int sqr = (int)sqrt(n*1.0);    // 根号 n
    for(int i=2; i<=sqr; ++i) {    // 遍历 2~根号n 
        if(n%i == 0)    return false;s
    } 
    return true;
} 

二、素数表的获取

　　通过上面的学习，已有办法判断单独一个数是否是素数，那么可以从 1~n 进行遍历，判断每个数是否是素数，如果是素数则加入素数表。下面是完整的求解 100 以内的所有素数的程序：

/*
    素数 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h> 

// const 在 c 中不代表常量 
#define maxn 101    // 表长
int pri[maxn], pNum=0;    // prime 储存素数，pNum 储存素数个数 

// 判断 n 是否为素数 
bool isPrime(int n) {
    if(n <= 1) return false;    // 特判
    int sqr = (int)sqrt(n*1.0);    // 根号 n
    // c 要求先定义变量 
    int i;
    for(i=2; i<=sqr; ++i) {    // 遍历 2~根号n 
        if(n%i == 0)    return false;
    } 
    return true;
} 

// 素数表获取 
void findPrime() {
    int i;
    for(i=1; i<101; ++i) {
        if(isPrime(i)) {
            pri[pNum++] = i;
        }
    }
} 

int main() {
    findPrime();
    int i;
    for(i=0; i<pNum; ++i) {
        printf("%d ", pri[i]);
    }
    
    return 0;
}

　　下面介绍一个更高效的算法，埃氏筛选。算法从小到大枚举所有数，对每一个素数，筛去其所有的倍数，剩下的就都是素数。至于“筛”这个动作的实现，可以使用一个 bool 型数组 p 来标记，如果 a 被筛掉，那么 p[a] 为 true；否则，p[a] 为 false。在程序开始时可以初始化 p 数组全为 false。

　　下面是完整的用素数筛法求解 100 以内的所有素数的程序：

/*
    素数_埃氏筛选 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 101
int pri[maxn], pNum=0;
bool p[maxn] = {0};    // 表示数是否被筛掉

// 素数表的获取，埃氏筛选
void findPrime() {
    int i;
    for(i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!p[i]) {                // 没有被筛掉，为素数 
            pri[pNum++] = i;
            int j; 
            for(j=i+i; j<maxn; j+=i) {    // 筛掉倍数 
                p[j] = true;
            }
        }
    } 
} 

int main() {
    findPrime();
    int i;
    for(i=0; i<pNum; ++i) {
        printf("%d ", pri[i]);
    } 

    return 0;
}

 

【PAT B1013】数素数

　　题目：令P_i表示第i个素数。现任给两个正整数M <= N <= 10⁴，请输出P_M到P_N的所有素数。

　　思路：把素数表打至第 N 个素数，然后按格式输出即可。

　　下面是完整的程序：

/*
    【PAT B1013】数素数
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 1000001
int pri[maxn], pNum=0;
bool p[maxn] = {0};    // 表示数是否被筛掉

// 素数表的获取，埃氏筛选
void findPrime(int n) {
    int i;
    for(i=2; i<maxn; ++i) {
        if(!p[i]) {                // 没有被筛掉，为素数 
            pri[pNum++] = i;
            if(pNum >= n) break;    // 只把素数表打至第 N 个素数 
            int j; 
            for(j=i+i; j<maxn; j+=i) {    // 筛掉倍数 
                p[j] = true;
            }
        }
    } 
} 

int main() {
    int m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);    // 输入 m,n
    findPrime(n);            // 生成素数表
    int i, cnt=1;
    for(i=m; i<=n; ++i) {
        printf("%d", pri[i-1]);    // 数组下标从 0 开始
        if((cnt++)%10 && i<n) printf(" ");
        else printf("
");        // 每10个数字占1行 
    } 

    return 0;
}