动态规划——最长回文子串

　　最长回文子串的问题描述：

　　下面介绍动态规划的方法，使用动态规划可以达到最优的 O(n²) 复杂度。

　　令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串，是则为 1，不是则为 0。这样根据 S[i] 是否等于 S[j] ，可以把转移情况分为两类：

1. 1.  若 S[i] == S[j]，那么只要 S[i+1] 至 S[j-1] 是回文子串，S[i] 至 S[j] 就是回文子串；如果S[i+1] 至 S[j-1] 不是回文子串，则 S[i] 至 S[j] 也不是回文子串。
   2.  若 S[i] != S[j]，那么 S[i] 至 S[j] 一定不是回文子串。　　　　

　　由此可以写出状态转移方程：

　　　　　　　　　　$dp[i][j]=left{egin{matrix}dp[i+1][j-1],S[i]==S[j]\ 0,S[i]!=S[j]end{matrix} ight.$

　　边界：dp[i][i]=1，dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1]) ? 1 : 0。

　　根据递推写法从边界出发的原理，注意到边界表示的是长度为 1 和 2 的子串，且每次转移时都对子串的长度减了 1，因此不妨考虑按子串的长度和子串的初始位置进行枚举，即第一遍将长度为 3 的子串的 dp 值全部求出，第二遍通过第一遍结果计算出长度为 4 的子串的 dp 值 ……

　　代码如下：

/*
    最长回文子串 
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <stdbool.h>

#define maxn 1010
char S[maxn];
int dp[maxn][maxn];                 

int main() {
    gets(S);                        // 输入整行字符 
    int len=strlen(S), ans=1;        // ans 记录最长回文子串长度 
    int i, j, L;        
    // 边界 
    for(i=0; i<len; ++i) {            
        dp[i][i] = 1;
        if(i < len-1) {
            if(S[i] == S[i+1]) {
                dp[i][i+1] = 1;
                ans = 2;
            }
        }
    }
    // 状态转移方程 
    for(L=3; L<=len; ++L) {            // 枚举子串长度 
        for(i=0; i+L-1 < len; ++i) {    // 枚举子串的起始节点 
            j = i+L-1;                // 子串的右端结点 
            if(S[i]==S[j] && dp[i+1][j-1]==1) {
                dp[i][j] = 1;
                ans = L;            // 更新最长回文子串长度 
            }
        }
    }
    printf("%d
", ans);            // 输出 

    return 0;
}