图的存储与实现(一)，使用邻接矩阵

一、实现思想

图的邻接矩阵表示法，也叫数组表示法。用一个一维数组存储图中的顶点，用一个二维数组存储图中的边，即各个顶点直接的边的关系，这个二维数组就叫「邻接矩阵」。

不用代码的话，我们都比较熟悉，图的深度遍历和广度遍历。但是用代码怎么实现，这就要考虑存储一个图了，这个正是本博客的重点。

设图G=(V,E),有n个顶点，则邻接矩阵是一个 n X n的二维数组。V代表一个点集，E代表一个边集。

• 对于非网图(没有权值的有向、无向图)
                 = = 1 若(vi,vj) 属于 E
  edge[i][j]
                 = = 0 否则

这条公式很精辟，因为概括地很好，既包括了有向图，也包括了无向图。其实本质上，我们在置1的时候，考虑的是连通性，如果某个点可以到另一个点，那么二维数组的某个位置就可以置1了。

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• 对于网图(有权值的有向、无向图)

               = w(ij) 若(vi,vj)属于 E。w(ij)代表某条边的权值

edge[i][j] = 0 若 i = j

               = ∞ 否则

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二、实现图

这里以无向图，不带权值为例子

• 无向图的深度遍历

1. 从二维数组的角度来看，我觉得深度遍历的妙处在于，会跳下去。找到一个点之后，顺着这个点往下跳。
2. 里面用到了递归，跳不下去了，就开始返回。

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• 无向图的广度遍历

1. 里面用到了「队列」
2. 从二维数组的角度来看，找到某一行之后，我就扫描完这一行再走。根据队列再找下一行。

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代码实现

这个代码是无向非网图的例子。

1. 类的结构

const int MaxSize = 10;//简单起见，矩阵不要太大
int visited[MaxSize];//记录点是否被访问过

template <typename DataType>
class MGraphy
{
public:
    MGraphy(DataType a[], int n, int e); //构造函数
    ~MGraphy();
    void DFTraverse(int v); //深度搜索
    void BFTraverse(int v); //广度搜索
private:
    DataType vertex[MaxSize];   //存放点的数组
    int edge[MaxSize][MaxSize]; //存放图的二维数组
    int vertexNum, edgeNum;     //图的顶点数和边数
};

2. 构造函数

template <typename DataType>
MGraphy<DataType>::MGraphy(DataType a[], int n, int e)
{
    vertexNum = n;
    edgeNum = e;
    for (int i = 0; i < vertexNum; i++) //存储顶点
        vertex[i] = a[i];
    for (int i = 0; i < vertexNum; i++) //初始化邻接矩阵，即二维数组
        for (int j = 0; j < vertexNum; j++)
            edge[i][j] = 0;
    for (int i = 0; i < MaxSize; i++) //初始化访问标志数组
        visited[i] = 0;
    for (int i = 0; i < edgeNum; i++) //依次输入每一条边
    {
        int m, n;
        cin >> m >> n;  //输入边依附的两个顶点的编号
        edge[m][n] = 1; //置边标志
        edge[n][m] = 1;
    }
}

3. 深搜

template <typename DataType>
void MGraphy<DataType>::DFTraverse(int v)
{
    cout << vertex[v];
    visited[v] = 1;
    for (int i = 0; i < vertexNum; i++)
        if (edge[v][i] == 1 && visited[i] == 0)
            DFTraverse(i); //找到一个点就跳下去
}

4. 广搜

template <typename DataType>
void MGraphy<DataType>::BFTraverse(int v)
{
    int Q[MaxSize];
    int front = -1, rear = -1;
    cout << vertex[v];
    visited[v] = 1;
    Q[++rear] = v;
    while (front != rear)
    {
        int w = Q[++front];                 //将队头元素出队，并送到w中
        for (int i = 0; i < vertexNum; i++) //对二维数组而言，就是扫描完一行再走
        {
            if (edge[w][i] == 1 && visited[i] == 0)
            {
                cout << vertex[i];
                visited[i] = 1;
                Q[++rear] = i;
            }
        }
    }
}

5. Main函数做测试

int main(void)
{
    string Name[4] = {"a", "b", "c", "d"};
    MGraphy<string> *gra = new MGraphy<string>(Name, 4, 4);
    gra->DFTraverse(0);
    for (int i = 0; i < MaxSize; i++) //初始化访问标志数组
        visited[i] = 0;
    printf("
");
    gra->BFTraverse(0);
    return 0;
}
/*
输入:
0 3
0 1
1 3
1 2
输出
abcd
abdc
*/

四、总结

1. 这个是我看 王红梅数据结构做的笔记
2. 这是第一次用代码，基于邻接表，实现图的存储与遍历。不算很难，但是奇妙的也很好