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  • NP问题/NP完全问题(NP-complete problem)如何判断是否是NP完全问题

    在算法复杂度分析的过程中,人们常常用特定的函数来描述目标算法,随着变量n的增长,时间或者空间消耗的增长曲线,近而进一步分析算法的可行性(有效性)。

    引入了Big-O,Big-Ω,来描述目标算法的上限、下限复杂度函数。
    Big-Θ描述和目标函数同序的复杂度函数,即由Big-Θ既是上限也是下限

    常常用到如下时间复杂度函数标度

    1, log n, n, n log n, n^2, 2^n, n!

    通常将具有n^x,x为正整数形式的时间复杂度函数称为多项式复杂度
    通常认为具有多项式时间复杂度的算法是容易求解的。
    超过多项式时间复杂度,算法增长迅速,不易求解

    下图将展示NP和NP完全问题在所有问题中的位置。

    通常问题分为 可解决(Solvable)不可解决(Unsolvable)

    可解决问题又可以分为 易解决(Tractable)不易解决(Intractable)和不确定是否容易解决(NP)

    • 可解决(Solvable)是指存在算法能够解决的问题
    • 不可解决(Unsolvable)是指不存在解决该问题的算法,如The Halting Problem。
    • 易解决(Tractable),即P问题,是指具有最坏时间复杂度为多项式时间的算法能够解决的问题
    • 不易解决(Intractable)是指不存在最坏时间复杂度为多项式时间的算法能够解决的问题
    • 不确定是否容易解决(NP),还未被证明是否存在多项式算法能够解决这些问题,而其中NP完全问题又是最有可能不是P问题的问题类型。

    判断是否是NP完全问题
    1.元素较少时算法的运行速度非常快,但随着元素数量的增加,速度会变的非常慢。
    2.涉及所有组合问题通常是NP完全问题
    3.不能将问题分成小问题,必须考虑各种情况,这可能是NP问题
    4.如果问题涉及序列(如旅行商问题中的城市序列)且难以解决,它可能是NP问题
    5.如果问题涉及集合(如广播电台集合)且难以解决,它可能是NP完全问题
    6.如果问题可转化为集合覆盖问题商旅问题,那它肯定是NP问题

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