红黑树

红黑树 - 一种自平衡的二叉查找树

性质

1. 节点是红色或黑色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL节点)。
4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

这些规则的限制保证了红黑树自平衡，从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的2倍。

插入

1.向原红黑树插入值为14的新节点

满足性质不需要调整

2.向原红黑树插入值为21的新节点

由于父节点22是红色节点，因此这种情况打破了红黑树的规则4(每个红色节点的两个子节点都是黑色)，必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则。

调整

变色

为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色节点变为黑色，或者把黑色节点变为红色。

1. 下图所表示的是红黑树的一部分，需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色，不符合规则4，所以把节点22从红色变成黑色：
2. 但这样并不算完，因为凭空多出的黑色节点打破了规则5，所以发生连锁反应，需要继续把节点25从黑色变成红色：
3. 此时仍然没有结束，因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点，需要继续把节点27从红色变成黑色：

此时可以说变色才告一段落。

旋转

左旋右旋对于学过数据结构平衡二叉树的同学不会感到陌生。

左旋转

以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。如下图。

上图中，身为右孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的左孩子。此为左旋转。

右旋转

以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。

上图中，身为左孩子的Y取代了X的位置，而X变成了自己的右孩子。

变色与旋转要根据插入和删除时的具体情况具体分析，以上述插入21节点为例

以插入21节点为例

第一步

变色，把节点25及其下方的节点变色：

此时节点17和节点25是连续的两个红色节点，那么把节点17变成黑色节点？

恐怕不合适。这样一来不但打破了规则4，而且根据规则2(根节点是黑色)，也不可能把节点13变成红色节点。

第二步

变色已无法解决问题，我们把节点13看做X，把节点17看做Y，像刚才的示意图那样进行左旋转

左旋转为下图

由于根节点必须是黑色节点，所以需要变色。

第三步

这样并没有结束，因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4，其他路径的黑色节点个数是3，不符合规则5。

这时候我们需要把节点13看做X，节点8看做Y，进行右旋转

第四步

​ ↓

​ ↓

最后根据规则变色

第五步

至此便完成了插入操作，本插入过程属于复杂的一种情况，其他情况需要具体分析。

删除

红黑树的删除有许多种情况需要根据不同规则进行操作，下面举出部分例子。

情形分析

一、从树中删除节点X（以寻找后继节点的方式进行删除）

• 情况①：如果X没有孩子，且如果X是红色，直接删除X；如果X是黑色，则以X为当前节点进行旋转调色，最后删掉X
• 情况②：如果X只有一个孩子C，交换X和C的数值，再对新X进行删除。根据红黑树特性，此时X不可能为红色，因为红色节点要么没有孩子，要么有两个黑孩子。此时以新X为当前节点进行情况①的判断
• 情况③：如果X有两个孩子，则从后继中找到最小节点D，交换X和D的数值，再对新X进行删除。此时以新X为当前节点进行情况①或②的判断

二、旋转调色

（N=旋转调色的当前节点[等于情况①中的X]，P=N的父亲，W=N的兄弟，Nf=N的远侄子，Nn=N的近侄子）

• 情况1：N是根或者N是红色，则：直接将N设为黑色
• 情况2：N不是根且N是黑色，且W为红色，则：将W设为黑色，P设为红色，对P进行旋转(N为P的左子时进行左旋，N为P的右子时进行右旋)，将情况转化为情况1、2、3、4、5
• 情况3：N不是根且N是黑色，且W为黑色，且W的左右子均为黑色，则：将W设为红色，将P设为当前节点进行旋转调色，将情况转化为情况1、2、3、4、5
• 情况4：N不是根且N是黑色，且W为黑色，且Nf为黑色，Nn为红色，则：交换W与Nn的颜色，并对W进行旋转(N为P的左子进行右旋，N为P的右子进行左旋)，旋转后N的新兄弟W有一个红色WR，则转换为情况5
• 情况5：N不是根且N是黑色，且W为黑色，且Nf为红色，Nn为黑色，则：将W设为P的颜色，P和Nf设为黑色，并对P进行旋转(N为P的左子进行左旋，N为P的右子进行右旋)，N设为根

删除示例

（1）删除12

（2）删除1

（3）删除9

（4）删除2

（5）删除0

（6）删除11

（7）删除7

（8）删除19

（9）删除4

（10）删除15

（11）删除18

（12）删除5

（13）删除14

（14）删除13

（15）删除10

（16）删除16

（17）删除6

（18）删除3

（19）删除8