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在机器学习算法中，有一种算法叫做集成算法，AdaBoost 算法是集成算法的一种。我们先来看下什么是集成算法。
1，集成算法
通常，一个 Boss 在做一项决定之前，会听取多个 Leader 的意见。集成算法就是这个意思，它的基本含义就是集众算法之所长。
前面已经介绍过许多算法，每种算法都有优缺点。那么是否可以将这些算法组合起来，共同做一项决定呢？答案是肯定的。这就诞生了集成算法（Ensemble Methods）。
集成算法的基本架构如下：
算法的组合有多种形式，比如将不同的算法集成起来，或者将同一种算法以不同的形式集成起来。
常见的集成算法有四大类：
- bagging：装袋法，代表算法为 RandomForest（随机森林）。
- boosting：提升法，代表算法有 AdaBoost，XGBoost 等。
- stacking：堆叠法。
- blending：混合法。
多个算法以不同的方式可以组合成集成算法，如果再深入探究的话，不同的集成方法也可以组合起来：
- 如果将 boosting 算法的输出作为bagging 算法的基学习器，得到的是 MultiBoosting 算法；
- 如果将 bagging 算法的输出作为boosting 算法的基学习器，得到的是 IterativBagging 算法。
对于集成算法的集成，这里不再过多介绍。
2，bagging 与 boosting 算法
bagging和 boosting是两个比较著名的集成算法。
bagging 算法
bagging 算法是将一个原始数据集随机抽样成 N 个新的数据集。然后将这N 个新的数据集作用于同一个机器学习算法，从而得到 N 个模型，最终集成一个综合模型。
在对新的数据进行预测时，需要经过这 N 个模型（每个模型互不依赖干扰）的预测（投票），最终综合 N 个投票结果，来形成最后的预测结果。
boosting 算法
boosting 算法的含义为提升学习，它将多个弱分类器组合起来形成一个强分类器。
boosting 算法是将一个原始数据集使用同一个算法迭代学习 N 次，每次迭代会给数据集中的样本分配不同的权重。
分类正确的样本会在下一次迭代中降低权重，而分类错误的样本会在下一次迭代中提高权重，这样做的目的是，使得算法能够对其不擅长（分类错误）的数据不断的加强提升学习，最终使得算法的成功率越来越高。
每次迭代都会训练出一个新的带有权重的模型，迭代到一定的次数或者最终模型的错误率足够低时，迭代停止。最终集成一个强大的综合模型。
在对新的数据进行预测时，需要经过这 N 个模型的预测，每个模型的预测结果会带有一个权重值，最终综合 N 个模型结果，来形成最后的预测结果。
boosting 算法中每个模型的权重是不相等的，而bagging 算法中每个模型的权重是相等的。
3，AdaBoost 算法
AdaBoost 算法是非常流行的一种 boosting 算法，它的全称为 Adaptive Boosting，即自适应提升学习。
AdaBoost 算法由Freund 和 Schapire 于1995 年提出。这两位作者写了一篇关于AdaBoost 的简介论文，这应该是关于AdaBoost 算法的最权威的资料了。为了防止链接丢失，我将论文下载了，放在了这里。
AdaBoost 算法 和 SVM 算法被很多人认为是监督学习中最强大的两种算法。
AdaBoost 算法的运行过程如下：
- 为训练集中的每个样本初始化一个权重 wi，初始时的权重都相等。
- 根据样本训练出一个模型 Gi，并计算该模型的错误率 ei 和权重 ai。
- 根据权重 ai 将每个样本的权重调整为 wi+1，使得被正确分类的样本权重降低，被错误分类的样本权重增加（这样可以着重训练错误样本）。
- 这样迭代第2，3 步，直到训练出最终模型。
这个过程中，我们假设 x 为样本，Gi(x) 为第 i 轮训练出的模型，ai 为 Gi(x) 的权重，一共迭代 n 轮，那么最终模型 G(x) 的计算公式为：
模型权重 ai 的计算公式如下，其中 ei 为第 i 轮模型的错误率：
我们用 Dk+1 代表第 k+1 轮的样本的权重集合，用 Wk+1,1 代表第 k+1 轮中第1个样本的权重， Wk+1,N 代表第 k+1 轮中第 N 个样本的权重，用公式表示为：
样本权重 Wk+1,i 的计算公式为：
其中：
- yi 为 xi 的目标值。
- Zk 为归一化因子，使得 Dk+1 成为一个概率分布。
- exp 为指数函数。
4，AdaBoost 算法示例
下面我们以一个二分类问题，来看一下AdaBoost 算法的计算过程。
假设我们有10 个样本数据，X 为特征集，Y 为目标集，如下：
| X | Y |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 1 |
| 3 | -1 |
| 4 | -1 |
| 5 | -1 |
| 6 | 1 |
| 7 | 1 |
| 8 | 1 |
| 9 | -1 |
假设有三个分类器，分别以2.5，5.5，8.5将数据分界：
简单看下其分布图：
根据这三个分类器，我们可以算出每个样本对应的值：
| X | Y | f1(x) | f2(x) | f3(x) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | -1 |
1 |
| 1 | 1 | 1 | -1 |
1 |
| 2 | 1 | 1 | -1 |
1 |
| 3 | -1 | -1 | -1 | 1 |
| 4 | -1 | -1 | -1 | 1 |
| 5 | -1 | -1 | -1 | 1 |
| 6 | 1 | -1 |
1 | 1 |
| 7 | 1 | -1 |
1 | 1 |
| 8 | 1 | -1 |
1 | 1 |
| 9 | -1 | -1 | 1 |
-1 |
上面表格中，对于每个分类器分类错误的数据，我进行了标红。
第一轮
将每个样本的权重初始化为0.1：
- D1 =
(0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)
根据 D1 计算每个分类器的错误率：
- e1(x) = 0.1*3 = 0.3
- e2(x) = 0.1*4 = 0.4
- e3(x) = 0.1*3 = 0.3
选择错误率最小的分类器作为第1轮的分类器，因为 f1(x)和 f3(x) 的错误率都是0.3，所以可以任意选一个，比如我们选 f1(x)，所以 G1(x) = f1(x)。
计算 G1(x) 的权重 a1(x)：
- a1(x) =
(1/2) * log((1-0.3)/0.3)= 0.42
这里的
log以e为底。
计算第2轮的样本权重D2，首先需要根据Zk 的公式来计算 Z1，先计算 -a1yiG1(xi) ，如下：
| 序号 i | yi | G1(xi) | -a1yiG1(xi) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | -0.42 x 1 x 1 => -0.42 |
| 2 | 1 | 1 | -0.42 x 1 x 1 => -0.42 |
| 3 | 1 | 1 | -0.42 x 1 x 1 => -0.42 |
| 4 | -1 | -1 | -0.42 x -1 x -1 => -0.42 |
| 5 | -1 | -1 | -0.42 x -1 x -1 => -0.42 |
| 6 | -1 | -1 | -0.42 x -1 x -1 => -0.42 |
| 7 | 1 | -1 | -0.42 x 1 x -1 => 0.42 |
| 8 | 1 | -1 | -0.42 x 1 x -1 => 0.42 |
| 9 | 1 | -1 | -0.42 x 1 x -1 => 0.42 |
| 10 | -1 | -1 | -0.42 x -1 x -1 => -0.42 |
那么 Z1 = 0.1 * (7 * e^-0.42 + 3 * e^0.42) = 0.92
再根据样本权重的计算公式可以得出：
- D2 =
(0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.0715, 0.1666, 0.1666, 0.1666, 0.0715)
第二轮
根据 D2 计算每个分类器的错误率：
- e1(x) = 0.1666*3 = 0.4998
- e2(x) = 0.0715*4 = 0.286
- e3(x) = 0.0715*3 = 0.2145
选择错误率最小的分类器作为第2轮的分类器，所以 G2(x) = f3(x)。
计算 G2(x) 的权重 a2(x)：
- a2(x) =
(1/2) * log((1-0.2145)/0.2145)= 0.65
计算第3轮每个样本的权重：
- D3 =
(0.0455,0.0455,0.0455,0.1667, 0.1667,0.01667,0.1060, 0.1060, 0.1060, 0.0455)
这里省略了D3 的计算过程，其计算过程与D2 一样。
第三轮
根据 D3 计算每个分类器的错误率：
- e1(x) = 0.1060*3 = 0.318
- e2(x) = 0.0455*4 = 0.182
- e3(x) = 0.1667*3 = 0.5
选择错误率最小的分类器作为第3轮的分类器，所以 G3(x) = f2(x)。
计算 G3(x) 的权重 a3(x)：
- a3(x) =
(1/2) * log((1-0.182)/0.182)= 0.75
如果我们只迭代三轮，那么最终的模型 G(x) = 0.42G1(x) + 0.65G2(x) + 0.75G3(x)。
有了最终的模型G(x)，我们根据G(x) 来计算每个样本对应的值：
G0 = 0.42 + 0.65 - 0.75 = 0.32 => 1
G1 = 0.42 + 0.65 - 0.75 = 0.32 => 1
G2 = 0.42 + 0.65 - 0.75 = 0.32 => 1
G3 = -0.42 + 0.65 - 0.75 = -0.52 => -1
G4 = -0.42 + 0.65 - 0.75 = -0.52 => -1
G5 = -0.42 + 0.65 - 0.75 = -0.52 => -1
G6 = -0.42 + 0.65 + 0.75 = 0.98 => 1
G7 = -0.42 + 0.65 + 0.75 = 0.98 => 1
G8 = -0.42 + 0.65 + 0.75 = 0.98 => 1
G9 = -0.42 - 0.65 + 0.75 = -0.32 => -1
因为本例是一个二分类问题，所以对于值大于 0 均取 1，值小于 0 均取 -1。
最终可以得到如下表格：
| X | Y | G(x) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 |
| 3 | -1 | -1 |
| 4 | -1 | -1 |
| 5 | -1 | -1 |
| 6 | 1 | 1 |
| 7 | 1 | 1 |
| 8 | 1 | 1 |
| 9 | -1 | -1 |
可以看到经过提升学习后的模型的准确率提高到了100%。
当然对于实际问题，准确率基本达不到100%。
以上就是一个简化版的 AdaBoost 算法的计算过程。
本例的原型出自《统计学习方法 · 李航》
5，sklearn 对 AdaBoost 的实现
sklearn 库的 ensemble 模块实现了一系列的集成算法，对于集成方法的介绍，可以参看这里。
AdaBoost 算法即可用于分类问题，也可用于回归问题：
- AdaBoostClassifier 类用于分类问题。
- AdaBoostRegressor 类用于回归问题。
来看下 AdaBoostClassifier 类的原型：
AdaBoostClassifier(
base_estimator=None,
n_estimators=50,
learning_rate=1.0,
algorithm='SAMME.R',
random_state=None)
其参数含义：
- base_estimator：代表弱分类器，默认使用的是决策树。
- 对于
AdaBoostClassifier默认使用的是DecisionTreeClassifier(max_depth=1)。 - 对于
AdaBoostRegressor默认使用的是DecisionTreeRegressor(max_depth=3)。 - 一般不需要修改这个参数，当然也可以指定具体的分类器。
- 对于
- n_estimators：最大迭代次数，也是分类器的个数，默认是 50。
- learning_rate：代表学习率，取值在 0-1 之间，默认是 1.0。
- 学习率和迭代次数是相关的，如果学习率较小，就需要比较多的迭代次数才能收敛。
- 所以如果调整了 learning_rate，一般也需要调整 n_estimators 。
- algorithm：代表采用哪种 boosting 算法，有两种选择：SAMME 和 SAMME.R，默认是 SAMME.R。
- SAMME 和 SAMME.R 的区别在于对弱分类权重的计算方式不同。
- SAMME.R 的收敛速度通常比 SAMME 快。
- random_state：代表随机数种子，默认是 None。
- 随机种子用来控制随机模式，当随机种子取了一个值，也就确定了一种随机规则，其他人取这个值可以得到同样的结果。
- 如果不设置随机种子，每次得到的随机数也就不同。
再来看下 AdaBoostRegressor 类的原型：
AdaBoostRegressor(
base_estimator=None,
n_estimators=50,
learning_rate=1.0,
loss='linear',
random_state=None)
可以看到，回归和分类的参数基本一致，而回归算法里没有 algorithm 参数，但多了 loss 参数。
loss 参数代表损失函数，用于（每次迭代后）更新样本的权重，其共有 3 种选择，分别为：
- linear，代表线性函数。
- square，代表平方函数。
- exponential，代表指数函数。
- 默认是 linear，一般采用线性就可得到不错的效果。
6，使用 AdaBoost 进行回归分析
接下来，我们看下如何用 AdaBoost 算法进行回归分析。
之前在文章《决策树算法-实战篇-鸢尾花及波士顿房价预测》中，我们介绍过波士顿房价数据集，这里不再对数据本身进行过多介绍，下面我们用 AdaBoost 算法来分析该数据集。
首先加载数据集：
from sklearn.datasets import load_boston
boston = load_boston()
features = boston.data # 特征集
prices = boston.target # 目标集
将数据拆分成训练集和测试集：
from sklearn.model_selection import train_test_split
train_x, test_x, train_y, test_y = train_test_split(
features, prices, test_size=0.25, random_state=33)
构建 AdaBoost 回归模型：
from sklearn.ensemble import AdaBoostRegressor
regressor = AdaBoostRegressor() # 均采用默认参数
regressor.fit(train_x, train_y) # 拟合模型
使用模型进行预测：
pred_y = regressor.predict(test_x)
评价模型准确率：
from sklearn.metrics import mean_squared_error
mse = mean_squared_error(test_y, pred_y)
print "AdaBoost 均方误差 = ", round(mse, 2) # 18.57
7，分析 AdaBoost 模型的属性
base_estimator_ 属性是基学习器，也就是训练之前的模型：
>>> regressor.base_estimator_
DecisionTreeRegressor(criterion='mse',
max_depth=3, max_features=None,
max_leaf_nodes=None, min_impurity_decrease=0.0,
min_impurity_split=None, min_samples_leaf=1,
min_samples_split=2, min_weight_fraction_leaf=0.0,
presort=False, random_state=None, splitter='best')
estimators_ 属性是经过训练之后的所有弱学习器，有 50 个：
>>> len(regressor.estimators_)
50
feature_importances_ 属性中存储了每个特征的重要性：
>>> regressor.feature_importances_
array([0.02104728, 0. , 0.00304314,
0. , 0.00891602, 0.2825294 ,
0.00438134, 0.17308669, 0.00929782,
0.07457966, 0.02250937, 0.00592025,
0.39468902])
estimator_weights_ 属性是每个弱学习器的权重：
>>> regressor.estimator_weights_
array([2.39259487, 2.02119506, 1.68364189, 0.71892012, 2.01966649,
1.03178435, 1.14573926, 2.15335207, 1.62996738, 1.39576421,
1.42582945, 0.55214963, 1.17953337, 0.20934333, 0.3022646 ,
1.73484417, 1.36590071, 0.27471584, 0.97297267, 0.21729445,
1.97061649, 0.91072652, 1.95231025, 0.11764431, 1.19301792,
0.21629414, 1.57477075, 1.23626619, 1.21423494, 0.24063141,
0.08265621, 0.17198137, 0.58300858, 0.72722721, 2.07974547,
0.61855751, 1.98179632, 0.5886063 , 0.18646107, 0.38176832,
1.11993353, 1.81984396, 1.06785584, 0.45475221, 1.85522596,
0.29177236, 1.0699074 , 1.79358974, 1.37771849, 0.15698322])
estimator_errors_ 属性是每个弱学习器的错误率：
>>> regressor.estimator_errors_
array([0.08373912, 0.11699548, 0.15661382, 0.32763082, 0.11715348,
0.26273832, 0.24126819, 0.1040184 , 0.16383483, 0.19848913,
0.19374934, 0.36536582, 0.23513611, 0.44785447, 0.42500398,
0.149969 , 0.20328296, 0.43174973, 0.27428838, 0.44588913,
0.12232269, 0.28685119, 0.12430167, 0.4706228 , 0.23271962,
0.44613629, 0.17153735, 0.22508658, 0.22895259, 0.44013076,
0.47934771, 0.45711032, 0.35824061, 0.32580349, 0.1110811 ,
0.3501096 , 0.12112748, 0.3569547 , 0.45351932, 0.40570047,
0.24602361, 0.1394526 , 0.25581106, 0.38823148, 0.13526048,
0.42757002, 0.25542069, 0.14263317, 0.20137567, 0.46083459])
我们将每个弱学习器的权重和错误率使用 Matplotlib 画出折线图如下：
可以看到弱学习器的错误率与权重成反比：
- 弱学习器的错误率越低，权重越高。
- 弱学习器的错误率越高，权重越低。
8，对比 AdaBoost 模型与决策树，KNN 算法
下面分别使用决策树回归和KNN 回归来分析波士顿数据集，从而对比这三种算法的准确度。
使用决策树回归
代码如下
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
# 构建决策树
dec_regressor = DecisionTreeRegressor()
# 拟合决策树
dec_regressor.fit(train_x, train_y)
# 预测数据
pred_y = dec_regressor.predict(test_x)
# 计算模型准确度
mse = mean_squared_error(test_y, pred_y)
print "决策树均方误差 = ", round(mse, 2)
使用KNN 回归
代码如下
from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor
# 构建 KNN 模型
knn_regressor = KNeighborsRegressor()
# 拟合模型
knn_regressor.fit(train_x, train_y)
# 预测数据
pred_y = knn_regressor.predict(test_x)
# 计算模型准确度
mse = mean_squared_error(test_y, pred_y)
print "KNN 均方误差 = ", round(mse, 2)
运行代码得出的结果是：
- AdaBoost 均方误差 = 18.57
- 决策树均方误差 = 36.92
- KNN 均方误差 = 27.87
我们知道均方误差越小，准确率越高，所以 AdaBoost 算法在这三种算法中表现最好。
9，探究迭代次数与错误率的关系
理想情况下，迭代次数越多，最终模型的错误率应该越低，下面我们来探究一下是否是这样？
sklearn 中的 make_hastie_10_2 函数用于生成二分类数据。
我们用该函数生成12000 个数据，取前2000 个作为测试集，其余为训练集：
from sklearn import datasets
X, Y = datasets.make_hastie_10_2(n_samples=12000, random_state=1)
train_x, train_y = X[2000:], Y[2000:]
test_x, test_y = X[:2000], Y[:2000]
构建 AdaBoost 分类模型，迭代次数为 500：
from sklearn.ensemble import AdaBoostClassifier
IterationN = 500
ada = AdaBoostClassifier(n_estimators=IterationN)
ada.fit(train_x, train_y)
对测试数据进行预测，并统计错误率：
from sklearn.metrics import zero_one_loss
errs = []
for pred_y in ada.staged_predict(test_x):
err = zero_one_loss(pred_y, test_y)
errs.append(err)
staged_predict 方法用于预测每一轮迭代后输入样本的预测值，所以模型迭代了多少次，该方法就会返回多少次预测结果，其返回的就是分别迭代1，2，3...N 次的预测结果。
zero_one_loss 方法用于计算错误率。
errs 列表中存储了每次迭代的错误率。
用 Matplotlib 画出错误率折线图：
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(range(1, IterationN+1), errs, label='AdaBoost Error Rate', color='orange')
plt.legend(loc='upper right', fancybox=True) # 显示图例
plt.show()
通过上图可以看出：
- 随着迭代次数的增多，错误率逐渐降低。
- 在迭代100 次之后，错误率趋于平缓。
建议：
在实际应用中，可以通过画这种折线图的方式，来判断模型应该迭代多少次。当然也要考虑时间成本，迭代次数越多，时间成本也会越高。
sklearn 官方文档中也有一个这样的例子，你可以参考这里。
需要注意的是，如果数据集不够好的话，错误率在达到一定值后有可能会反弹，即迭代次数如果再增加，错误率可能会增高，这时候就是过拟合现象。
10，总结
本篇文章主要介绍了以下内容：
- 什么是集成算法及常见的集成算法有哪些？
- bagging 算法与boosting 算法的区别。
- AdaBoost 算法原理及其计算过程。
- 使用AdaBoost 算法分析波士顿房价数据集。
- 对比AdaBoost 算法，决策树算法及KNN 算法哪个更强大。
- 探究AdaBoost 算法迭代次数与错误率的关系。
（本节完。）
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