01背包、完全背包

01背包

问题描述

有n个重量（费用）和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选出总重量（费用）不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。

例子

n=4
(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
W=5
输出：7

1 二维数组版：时间复杂度O(nW) ，空间复杂度O(nW)

记得以下所有方法首先都要初始化dp数组memset(dp,0,sizeof(dp));
dp[i][j] ：表示从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时总价值的最大值。

int dp[MAX_N+1][MAX_W+1];

void solve(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=W;j++){
			if(j<w[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}
			else{
				dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d
",dp[n][W]);
}

2 一维数组版：时间复杂度O(nW) ，空间复杂度O(W)

上述二维方法可以通过不断重复利用一个一维数组来实现。因为dp[i][j]只可能与dp[i-1][0]到dp[i-1][j]有关，即只与上一行第一列至本列有关，所以内层循环改为由背包容量到物品重量的顺序，即可使用一维数组。
第i层循环，dp[j] ：含义同上。
此外，由于少了一维，可省去if(j<w[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}。

int dp[MAX_W+1]

void solve(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=W;j>=w[i];j--){
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
		}
	}
	printf("%d
",dp[W]);
}

完全背包

问题描述

有n个重量（费用）和价值分别为wi，vi的物品。从这些物品中挑选出总重量（费用）不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。在这里，每种物品可以挑选任意多件。

1 二维数组、三重循环版：时间复杂度O(nW^2)，空间复杂度O(nW)

递推关系：
dp[0][j]=0
dp[i][j]=max{dp[i-1][j-kw[i]]+kv[i]|0<=k}
此外，当j<w[i]时，属于k=0的情况。

int dp[MAX_N+1][MAX_W+1];

void solve（）{
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=W;j++){
			for(int k=0;k*w[i]<=j;k++){
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d
",dp[n][W]);
}

2 二维数组、二重循环版：时间复杂度O(nW)，空间复杂度O(nW)

思路：
在dp[i][j]的计算中选择k(k>=1)个的情况，与在dp[i][j-w[i]]的计算中选择k-1个的情况是相同的（因为至少必须要选一个物品i）。所以递推关系式可分为不选当前物品，和选至少一个当前物品的情况取最大值。

所以上面递推关系中：
dp[i][j]=max{dp[i-1][j-kw[i]]+kv[i]|0<=k}
=max{dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]}

注意是上式右侧的一项是dp[i-1][j]，表示不选当前物品的情况；代码1中是dp[i][j]，dp[i][j]表示不断用最大值更新dp[i][j]。故此方法省去了关于k的循环。
（此外，为什么不会从状态dp[i][j-2w[i]]+2v[i]转移到状态dp[i][j]?，个人认为因为这样表示将结果分为三种情况，选0个，选1个，至少选2两个，就要写成dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i],dp[i][j-2w[i]]+2v[i]}，是繁琐且有赘余计算的。）

void solve（）{
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=W;j++){
			if(j<w[i]){dp[i+1][j]=dp[i][j];}
			else{
					dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
				}
			}
		}
	}
	printf("%d
",dp[n][W]);
}

3 一维数组、二重循环版：时间复杂度O(nW)，空间复杂度O(W)

因为dp[i][j]只可能与dp[i-1][j]和dp[i][0]到dp[i][j]有关,即只与上一行同一列和本行第一列至本列有关，所以内层循环可以仍为物品重量到背包容量的顺序，并改为使用一维数组。此外，由于少了一维，可省去if(j<w[i]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}。

int dp[MAX_W+1];

void solve（）{
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=w[i];j<=W;j++){
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d
",dp[W]);
}

0-1背包和完全背包对比总结

使用一维数组，两者的算法只有内层遍历顺序不同，但要非常清楚两者的含义完全不同：代码层面，因为内层遍历方向的不同dp[j]一个指dp[i-1][j],一个指dp[i][j]。含义层面，转移到dp[j]的状态来源完全不不同，具体见上。

reference

挑战程序设计竞赛
https://vincentxwd.github.io/blog/2018/08/11/总结-关于01背包和完全背包/