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  • 算法：约瑟夫问题：01 来源：百度百科

    https://baike.baidu.com/item/约瑟夫问题/3857719?fr=aladdin

    约瑟夫问题问题来历

    据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。 [1] 
    17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。
    问题分析与算法设计
    约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。
    题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示，可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

    约瑟夫问题一般形式

    编辑
    约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。
    分析：
    （1）由于对于每个人只有死和活两种状态，因此可以用布尔型数组标记每个人的状态，可用true表示死，false表示活。
    （2）开始时每个人都是活的，所以数组初值全部赋为false。
    （3）模拟杀人过程，直到所有人都被杀死为止。

    约瑟夫问题pascal代码1

    　
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    var 
      a:array [1..20] of integer;
      n,m,i,j,k,n1,m1:integer;
    begin
    readln(m,n);
    for i:=1 to m do
      a[i]:=i;
    m1:=m;
    n1:=1;
    while m1>0 do
    begin
      j:=(n+n1-1-1) mod m1 +1;
      n1:=j;
      m1:=m1-1;
      writeln(a[j]);
      for k:=j to m1 do
        a[k]:=a[k+1];
    end;
    end.

    约瑟夫问题C++代码：

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    #include<iostream>
    using namespace std;
    main()
    {
        bool a[101]={0};
        int n,m,i,f=0,t=0,s=0;
        cin>>n>>m;
        do
        {
            ++t;//逐个枚举圈中的所有位置
            if(t>n)
                t=1;//数组模拟环状，最后一个与第一个相连
            if(!a[t])
                s++;//第t个位置上有人则报数
            if(s==m)//当前报的数是m
            {
                s=0;//计数器清零
                cout<<t<<' ';//输出被杀人编号
                a[t]=1;//此处人已死，设置为空
                f++;//死亡人数+1
            }
        }while(f!=n);//直到所有人都被杀死为止
    }
    c++代码2
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    #include <iostream>
    #include <iomanip>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int a[8],i,t,k;
        for(i=1;i<=8;i++)
        {
            a[i]=1;
        }
        t=8;
        k=0;
        while(t>0)
        {
            for(i=1;i<=8;i++)
            {
                if(a[i]==1)
                {
                    k++;
                    if(k==5)
                    {
                        k=0;
                        a[i]=0;
                        cout<<setw(3)<<i;
                        t--;
                        if(t==0)
                        {
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
    为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
    问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
    我们知道第一个人（编号一定是（m-1）mod n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：
    k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
    并且从k开始报0。
    我们把他们的编号做一下转换：
    k --> 0
    k+1 --> 1
    k+2 --> 2
    ...
    ...
    k-2 --> n-2
    变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n
    如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
    令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
    递推公式
    f[1]=0;
    f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i>1）
    有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
    由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

    约瑟夫问题pascal代码2

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    var
      n,m,i,s,p:integer;
      a:array[1..10000] of integer;
    begin
      read(n,m);//这步不用说了吧？
      for i:=1 to n do
        a[i]:=1;//先全部赋值1
      p:=0;s:=0;//统计人数和报数字用的
      repeat
        for i:=1 to n do
        begin
        if a[i]=0
        then   continue; //用于等会排除出圈者     
        s:=s+a[i];//不断累加(报数字) 
        if s=m then//出圈者 
        begin
          write(i,' ');打印出圈者;
          a[i]:=0;//明白刚才continue的意思了吧
          p:=p+1;//人数减少一个;
          s:=0;//重头报起.
        end;                  
        end;
      until p=n;//直到人数到了
    end.

    约瑟夫问题pascal代码3

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    Var
      a:array[1..100] of integer;
      n,m,i,j,p:integer;
    Begin
      write('Input n,m:');
      readln(n,m);
      for i:=1 to n do
        a[i]:=i;
      p:=1;                     {p用于记录报数的位置}
      for i:=1 to n do
        begin
          j:=0;                  {j用于记录报到的人数}
          while j<m do
            begin
              if a[p]<>0 then j:=j+1;
              if p=n then p:=1 else p:=p+1;  {处理边界情况}
            end;
          if p<>1
               then begin write(a[p-1],' ');a[p-1]:=0;end       {处理边界情况}
               else begin write(a[n],' ');a[n]:=0;end;
        end;
    end.

    约瑟夫问题pascal代码4

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    Var
      a:array[1..100] of integer;
      n,m,p,i,j:integer;
    Begin
      readln(n,m);
      for i:=1 to n-1 do
       a[i]:=i+1;
      a[n]:=1;
      p:=n;
      for i:=1 to n do
        begin
          for j:=1 to m-1 do
             p:=a[p];
          write(a[p],' ');
          a[p]:=a[a[p]];
       end;
    End.

    约瑟夫问题c++

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    #include <iostream>
    using namespace std;
    const int m = 3;
    int main()
    {
        int n, f = 0;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) f = (f + m) % i;
        cout << f + 1 << endl;
    }

    约瑟夫问题pascal代码5

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    var n,m,i,s:integer;
    begin
    write('N M =');
    read(n,m);
    for i:=2 to n do
    s:=(s+m) mod i;
    writeln('The winner is ',s+1）;
    end.
    这个算法的时间复杂度为O(n），相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

    约瑟夫问题python代码

    该程序基于python3.x实现
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    #控制参数：
     
    nums = 41
    call = 3
     
    #参数定义：
    peoples = []
    for _ in range(nums):
        peoples.append(True)
     
    result = []
    num =1
    #主逻辑
    while(any(peoples)):
        for index,people in enumerate(peoples):
            if people:
                if num == call:
                    peoples[index] = False
                    result.append(index+1)
    #                print(index+1)#每轮的出局者                
    #                print(peoples)#每次的队列状态
                    num = 1               
                else:
                    num += 1
    print('-'* 25)
    print(' 总数为%d,报数为%d' % (nums,call))        
    print('约瑟夫序列为： %s ' % result)      
    print('-'* 25)

    约瑟夫问题约瑟夫问题10e100版（from vijios)

    描述 Description
    n个人排成一圈。从某个人开始，按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数，报到2的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。
    输入格式 Input Format
    一个正整数n，表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。
    输出格式 Output Format
    一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。
    样例输入 Sample Input
    9
    样例输出 Sample Output
    3
    时间限制 Time Limitation
    各个测试点1s
    注释 Hint
    样例说明
    当n=9时，退出圈子的人的编号依次为：
    2 4 6 8 1 5 9 7
    最后剩下的人编号为3
    初见这道题，可能会想到模拟。可是数据实在太大啦！！
    我们先拿手来算，可知n分别为1，2，3，4，5，6，7，8...时的结果是1，1，3，1，3，5，7，1...
    有如下规律：从1到下一个1为一组，每一组中都是从1开始递增的奇数，且每组元素的个数分别为1，2，4...
    这样就好弄了！！
    大体思路如下：
    ①read(a)
    ②b:=1,c:=1{b为某一组的元素个数，c为累计所加到的数}
    ③while c<a do (b:=b*2,c:=b+c){超过目标时停止加数}
    ⑥c:=c-b{退到前一组}
    ⑦x:=a-c{算出目标为所在组的第几个元素}
    ⑧ans:=x*2-1{求出该元素}
    ⑨write(ans)
    有了思路，再加上高精度就可以了。我写的代码比较猥琐，因为是先把上面的思路敲进去，再写过程，又把一些简单的过程合到主程序中了，所以有点乱，也有点猥琐。起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~
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    var
      a,b,c:array[1..105]of longint;
      la,lb,lc,i:longint;
      s:string;
    procedure incc;
    var
      i:integer;
    begin
      for i:=1 to 105 do
        c:=c+b;
      for i:=1 to 104 do
        if c>9 then
                 begin
                   c:=c+cdiv10;
                   c:=c mod 10;
                 end;
    end;
    functioncxiaoa:boolean;
    vari:integer;
    begin
    cxiaoa:=false;
    fori:=105downto1do
    ifc<athenbegincxiaoa:=true;break;end
    elseifc>athenbreak;
    end;
    proceduredoubleb;
    vari:integer;
    begin
    fori:=1to105dob:=b*2;
    fori:=1to104doifb>9then
    begin
    b:=b+bdiv10;
    b:=bmod10;
    end;
    end;
    proceduredecc;
    vari,j:integer;
    begin
    fori:=1to104do
    ifc>=bthenc:=c-belse
    begin
    j:=i+1;
    whilec[j]=0doinc(j);
    whilej>ido
    begin
    c[j]:=c[j]-1;
    c[j-1]:=c[j-1]+10;
    dec(j);
    end;
    c:=c-b;
    end;
    end;
    procedurefua;
    vari:integer;
    begin
    fori:=1to104do
    ifa>cthena:=a-celse
    begin
    a:=a-1;
    a:=a+10;
    a:=a-c;
    end;
    end;
    procedureoutit;
    vari,j:integer;
    begin
    fori:=1to105doa:=a*2;
    fori:=1to104doifa>9then
    begin
    a:=a+adiv10;
    a:=amod10;
    end;
    ifa[1]>0thena[1]:=a[1]-1else
    begin
    j:=2;
    whilea[j]=0doinc(j);
    whilej>1do
    begin
    a[j]:=a[j]-1;
    a[j-1]:=a[j-1]+10;
    dec(j);
    end;
    a[1]:=a[1]-1;
    end;
    fori:=105downto1doifa>0thenbeginj:=i;break;end;
    fori:=jdownto1dowrite(a);
    end;
    begin
    readln(s);
    la:=length(s);
    fori:=ladownto1doa:=ord(s[la+1-i])-ord('0');
    b[1]:=1;
    c[1]:=1;
    whilecxiaoado
    begin
    doubleb;
    incc;
    end;
    decc;
    fua;
    outit;
    end.

    约瑟夫问题猴子选王

    编辑

    约瑟夫问题问题表述

    一． 问题描述：
    一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 ...m，这群猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。
    约瑟夫
    "密码问题"
    问题描述：编号为1、2、3、...、N的N个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。从指定
    编号为1的人开始，按顺时针方向自1开始顺序报数，报到指定数M时停止报数，报M的人出列，并将
    他的密码作为新的M值，从他在顺时针方向的下一个人开始，重新从1报数，依此类推，直至所有的
    人全部出列为止。请设计一个程序求出出列的顺序，其中N≤30，M及密码值从键盘输入。
    二． 基本要求：
    （1） 输入数据：输入m,n m,n 为整数，n<m
    （2）中文提示按照m个猴子，数n 个数的方法，输出为大王的猴子是几号 ，建立一个函数来实现此功能

    约瑟夫问题编程解决

    • 1.C程序
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    #include <stdio.h>
    #include <malloc.h>
    #defineLENsizeof(structmonkey)//定义structmonkey这个类型的长度
    struct monkey
    {
    int num;
    struct monkey *next;
    };
    struct monkey *create(int m)
    {
    struct monkey *head,*p1,*p2;
    inti;
    p1=p2=(struct monkey*)malloc(LEN);
    head=p1;
    head->num=1;
    for(i=1,p1->num=1;i<m;i++)
    {
    p1=(struct monkey*)malloc(LEN);
    p1->num=i+1;
    p2->next=p1;
    p2=p1;
    }
    p2->next=head;
    return head;
    }
    struct monkey *findout(struct monkey *start,int n)
    {
    int i;
    struct monkey *p;
    i=n;
    p=start;
    for(i=1;i<n-1;i++)
    p=p->next;
    return p;
    }
    struct monkey *letout(struct monkey *last)
    {
    struct monkey *out,*next;
    out=last->next;
    last->next=out->next;
    next=out->next;
    free(out);
    return next;
    }
    int main()
    {
    int m,n,i,king;
    struct monkey *p1,*p2;
    printf("请输入猴子的个数m: ");
    scanf("%d",&m);
    printf("每次数猴子的个数n: ");
    scanf("%d",&n);
    if(n==1）
    {
    king=m;
    }
    else
    {
    p1=p2=create(m);
    for(i=1;i<m;i++)
    {
    p2=findout(p1,n);
    p1=p2;
    p2=letout(p1）;
    p1=p2;
    }
    king=p2->num;
    free(p2）;
    }
    printf("猴王的编号是：%d ",king);
    return 0;
    }
    • C语言程序2
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    //猴子选大王问题（约瑟夫环问题）
    　#include<stdio.h>
    　#include<string.h>
    　#include<stdlib.h>
    　intfre(charmok[],intk)
    　{
    　inti;
    　printf(" 猴子编号： ");
    　for(i=0;mok[i]!='';i++)
    　printf("%d ",mok[i]);//输出为踢出之前的编号，测试用
    　for(i=k;mok[i]!='';i++)
    　{
    　mok[i]=mok[i+1];
    　}//一个循环，将k以后的元素前移
    　putchar(' ');
    　for(i=0;mok[i]!='';i++)
    　printf("%d ",mok[i]);//输出踢出之后的编号，测试用
    　printf(" 按回车继续下一轮: ");
    　getch();//暂停，测试用
    　return0;
    　}
    　int main()
    　{
    　char mok[50];
    　int i;
    　int n,s,b;//n表示猴子总数；s表示步进；b表示元素个数及大王编号
    　int j,k;//j,k都是计数器
    　mok[0]=1;//初始化mok[0],让后面编号更简单的进行
    　printf("请输入猴子的总数： ");
    　scanf("%d",&n);//输入猴子的总数
    　for(i=1;i<n;i++)
    　{
    　mok[i]=i+1;
    　}//对猴子进行编号
    　mok[n]='';//用0来表示数组的结尾
    　printf("请输入循环单位： ");
    　scanf("%d",&s);//单位长度
    　b=n;//统计猴子的个数
    　for(j=1,k=0;;j++,k++)
    　{
    　if(b==1)
    　{
    　b=mok[0];
    　break;
    　}//如果元素只剩下一个，那么退出循环
    　if(j==s)
    　{
    　printf(" 它出列了：%d ",mok[k]);
    　fre(mok,k);//用于元素前移的函数
    　b--;
    　j=1;
    　}//将猴子从数组中踢出，并重置计数器J。
    　if(mok[k+1]=='')
    　k=-1;//重置计数器k，因为后面有k++所以k要在重置基础上-1.
    　}//判断是否为数组最后元素，重置计数器k。
    　printf(" 最终大王是他：%d ",b);
    　return0;
    　}
    • C语言程序3: 用数组模拟链表
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    #include<stdio.h>
    #include<malloc.h>
    int main()
    {
    int *person,i,node,n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    person=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    for(i=1;i<n;i++)//初始化圈
    {
    person[i]=i+1;//i表示编号为i的人,person[i]的值表示编号为i的人的下一个人的编号
    }
    person[n]=1;//编号为n的下一个人的编号是1
    node=1;
    while(node!=person[node])//如果某个人的下一个人不是自己,意味着人数超过1人
    {
    for(i=1;i<m-1;i++)//这个循环终止于被杀的人的前一个人
    {
    node=person[node];//下一个人的编号为node,node的值来自于前一个人的person[node]
    }
    printf("%d",person[node]);//输出被杀的人编号
    person[node]=person[person[node]];//修改被杀的人的前一个人的person[node]为被杀的人的后一个人的编号
    node=person[node];//这句话中的node是被杀的人后一个人
    }
    printf("%d",node);//输出最后幸存者的编号
    return 0;
    }
    • pascal程序：
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    var
    a:array[1..10000]ofinteger;
    n,s,i,j:integer;
    begin
    read(m,n);
    fori:=1tomdoa[i]:=1;
    j:=0;
    fori:=1tomdo
    begin
    s:=0;
    whiles<ndo
    begin
    ifj<mtheninc(j)
    elsej:=1;
    s:=s+a[j];
    end;
    write(j);
    a[j]:=0;
    end;
    end.
    • c++程序
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    #include<iostream>
    #include<conio.h>
    using namespace std;
    main()
    {
        int n,m,i,s=0;
        cout<<"N：";cin>>n;   
        cout<<"M：";cin>>m;
        for(i=2;i<=n;i++)
        s=(s+m)%i;
        cout<<"新的大王是："<<s+1;
        getch();  
    }
    • 约瑟夫数学算法
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    #include<stdio.h>
    #include<conio.h>
    intmain(void)
    {
    intn,i=0,m,p;
    scanf("%d%d",&n,&m);//n总人数，m步长
    while(++i<=n)
    {
    p=i*m;
    while(p>n)
    p=p-n+(p-n-1）/(m-1）;
    printf("%d ",p);
    }
    getch();
    return0;
    }
    • 约瑟夫递推算法
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    #include<iostream>
    usingnamespacestd;
    intking(intM,intN)
    {
    intk=0;
    for(inti=2;i<=M;i++)
    k=(k+N)%i;
    return++k;}i
    ntmain()
    {
    intn,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m)
    {
    cout<<king(n,m)<<endl;
    }
    return0;
    }
    • 2、PHP模拟算法
    php有非常完善的数据结构模拟方案,可以非常简洁的解决这样的问题!
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    function king($n,$m){
        $monkey = range(1,$n);//模拟建立一个连续数组
        $i=0;
        while(count($monkey)>1){
            $i+=1;//开始查数
            $head = array_shift($monkey);//直接一个一个出列最前面的猴子
            if( $i%$m !=0 ){
                array_push($monkey,$head);//如果没数到m或m的倍数,则把该猴放回尾部去.
            }//否则就抛弃掉了
        }
        return $monkey[0];
    }
    echo'剩余',king(3,4),'号猴子';
    3. Python遍历数组
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    def Monkey(n, M):
        if n == 0 or M == 1: #过滤两种特殊情况
            return 0
        L = list(map(list,list(enumerate([True] * n,start=1)))) #两种状态以布尔值表示
        counter = 0
        while [L[i][1] for i in range(len(L))].count(True) > 1:
            for i in range(len(L)):
                if L[i][1] == True:
                    counter += 1
                if counter % M == 0 and L[i][1] == True:
                    L[i][1] = False
        return list(filter(lambda x:x[1] == True, L))[0][0]
         
    Monkey(2009, 3)

    约瑟夫问题笔算解决

    笔算解决约瑟夫问题
    在M比较小的时候 ，可以用笔算的方法求解，
    M=2
    即N个人围成一圈，1，2，1，2的报数，报到2就去死，直到只剩下一个人为止。
    当N=2^k的时候，第一个报数的人就是最后一个死的，
    对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t，其中t<n/2
    于是当有t个人去死的时候，就只剩下2^k个人 ，这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1
    于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解：
    求出不大于N的最大的2的整数次幂，记为2^k，最后一个去死的人是2(N-2^k)+1
    M=3
    即N个人围成一圈，1，2，3，1，2，3的报数，报到3就去死，直到只剩下一个人为止。
    此时要比M=2时要复杂的多
    我们以N=2009为例计算
    N=2009，M=3时最后被杀死的人记为F（2009,3），或者可以简单的记为F（2009）
    假设这种情况下还剩下n个人，则下一轮将杀死[n/3]个人，[]表示小于等于这个数的最大整数，还剩下n-[n/3]个人
    设这n个人为a1,a2,...,a(n-1）,an
    从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1）,a(n-n mod 3+1）,..,an
    于是可得：
    1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3），下一轮第一个报数的是a(n-n mod 3+1）
    2、若3|n，则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3]）个人
    若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人
    若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人
    3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1个人
    综合1，2，3可得：
    F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，
    当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3），F(n)=3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1
    当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1
    这种算法需要计算 [log（3/2）2009]次 这个数不大于22，可以用笔算了
    于是：
    第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，
    第二圈，杀死446人，还剩下894人
    第三圈，杀死298人，还剩下596人
    第四圈，杀死198人，还剩下398人
    第五圈，杀死132人，还剩下266人
    第六圈，杀死88人，还剩下178人
    第七圈，杀死59人，还剩下119人
    第八圈，杀死39人，还剩下80人
    第九圈，杀死26人，还剩下54人
    第十圈，杀死18人，还剩36人
    十一圈，杀死12人，还剩24人
    十二圈，杀死8人，还剩16人
    十三圈，杀死5人，还剩11人
    十四圈，杀死3人，还剩8人
    十五圈，杀死2人，还剩6人
    F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，
    然后逆推回去
    F（8）=7 F（11）=7 F（16）=8 f（24）=11 f（36）=16 f（54）=23 f（80）=31 f（119）=43 f（178）=62 f（266）=89 f（398）=130
    F（596）=191 F（894）=286 F（1340）=425 F（2009）=634

    约瑟夫问题规律解决

    视频 [2]  中给出了经典的约瑟父问题的数学解法，当猴子选王问题的N=2时就是经典的约瑟父问题
    对于经典约瑟父问题，视频中的解法是：
    1）找出令等式
    成立的最大的
    ，记为
    2）求解出
    3）所以，最后留下来的人的序号为
    视频中给出的解释是：
    当
    时，序号为1的人总是是最后留下来的人。对于
    ，当去掉
    个人后，剩下的人正好组成
    个人围成的圈，此圈中的序号1的人将是最后留下来的人。而对应到原来的圈，这个人的序号就是
    ，因为去掉
    个人时正好就跳过了
    个人，而下一个人的序号就是
    。
    推广到猴子选王问题，从以上解法不难看出，解法就是把2换成N，即：
    1）找出令等式
    成立的最大的
    ，记为
    2）求解出
    3）所以，最后留下来的猴子的序号为
    ，mod是取余数，例如：3 mod 2 = 1
    --------------------------
    m=8, N=3，8=3^1+5, 按照他的算法，此时N=3，l=5, 按照他的算法最后剩下来的是8,事实上很容易直接验算最后留下来的是7，上面的公式是错误的。
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  • 原文地址：https://www.cnblogs.com/coding365/p/12799186.html
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