题目描述
给定一个字符串，求它的最长回文子串的长度。
分析与解法
最容易想到的办法是枚举所有的子串，分别判断其是否为回文。这个思路初看起来是正确的，但却做了很多无用功，如果一个长的子串包含另一个短一些的子串，那么对子串的回文判断其实是不需要的。同时，奇数和偶数长度还要分别考虑。
Manacher算法可以解决上述问题，并在O(n)时间复杂度内求出结果。下面我们来看一下Manacher算法。
首先，为了处理奇偶的问题，在每个字符的两边都插入一个特殊的符号，这样所有的奇数或偶数长度都转换为奇数长度。比如，abc变为#a#b#c#。
同时，为了避免处理越界问题，在字符串的开始插入另一个特殊字符。比如，$#a#b#c#。
以字符串12212321为例，插入#和$这两个特殊符号，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#"，然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度（包括S[i]）。
比如S和P的对应关系：
- S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
- P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
可以看出，p[i]-1刚好是原字符串中最长回文子串的长度，为5.
接下来需要计算p[i]，Manacher算法需要两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+p[id]，也就是最大回文子串的边界。可以得到一个结论：
- 如果mx > i，那么P[i] >= Min(P[2 * id - i], mx - i）
我们再来看下这个结论是怎么得到的。
令j = 2*id - i，也就是说j是i关于id的对称点。
当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于i和j对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有P[i] = P[j]；
当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是 说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，再具体匹配。
此外，对于 mx <= i 的情况，因为无法对 P[i]做更多的假设，只能让P[i] = 1，然后再去匹配。
由此，就可以得出结论。通过以上算法，有代码：
1 int Manacher(char *s){ 2 //new一个字符串，插入'$','#' 3 //比如s = "aba" newS = "$#a#b#a#" 4 int len = 2 * strlen(s) + 3; 5 char *newS = new char[len]; 6 int j = 1; 7 newS[0] = '$'; 8 for (int i = 0; s[i] != ' '; ++i){ 9 newS[j++] = '#'; 10 newS[j++] = s[i]; 11 } 12 newS[j++] = '#'; 13 newS[j] = ' '; 14 15 //begin 16 int *p = new int[len - 1]; 17 int mx = 0, id = 0; 18 memset(p, 0, sizeof(p)); 19 int maxLen = 0; 20 for (int i = 1; newS[i] != ' '; ++i){ 21 if (mx > i){ 22 p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i); 23 } 24 else 25 p[i] = 1; 26 while (newS[i + p[i]] == newS[i - p[i]]) 27 ++p[i]; 28 if (i + p[i] > mx){ 29 mx = p[i] + i; 30 id = i; 31 } 32 if (p[i] > maxLen) 33 maxLen = p[i] - 1; 34 } 35 36 return maxLen ; 37 }