luogu P3911

题目

修复了一些小bug，(。・＿・。)ﾉI’m sorry~

给出集合 (A)，设 (n=mid Amid)，求 (sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n ext{lcm}(A_i,A_j))。

摸到这道题，我们马上就可以发现 (A) 中的元素是无序的，题目中给出的式子没法化简，所以我们不得不考虑转化式子。

数据范围 (1le A_ile5e4)，这就很好办了……

开一个桶（这里用数组 (t) 表示），(t[i]) 表示数 (i) 在集合中出现的次数。

这样原式就转化为了:

[sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n ext{lcm}(i,j) imes t[i] imes t[j] ]

注意此后 (n) 指集合 (A) 中元素的最大值。

这样好像就可以转化 ( ext{gcd}) 求解了。

（为了此篇题解更通俗易懂，接下来的推导会有些冗余部分，见谅~）

愉快的推式子时间~：

[large egin{aligned} &sum_{i=1}^nsum_{j=1}^n ext{lcm}(i,j) imes t[i] imes t[j]\ &Rightarrowsum_{i=1}^nsum_{j=1}^nfrac{i imes j}{ ext{gcd}(i,j)} imes t[i] imes t[j]\ &Rightarrowsum_{d=1}^nsum_{i=1}^nsum_{j=1}^nfrac{i imes j}{[ ext{gcd}(i, j)=d] imes d} imes t[i] imes t[j]\ &Rightarrowsum_{d=1}^nsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}frac{i d imes jd}{[ ext{gcd}(i, j)=1] imes d} imes t[id] imes t[jd]\ &Rightarrowsum_{d=1}^nsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}d imes i imes j imes[ ext{gcd}(i, j)=1] imes t[id] imes t[jd]\ &Rightarrowsum_{d=1}^nsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}d imes i imes j imessum_{kmid i,kmid j}mu(k) imes t[id] imes t[jd]\ &Rightarrowsum_{d=1}^nsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{kmid i,kmid j}mu(k) imes d imes i imes j imes t[id] imes t[jd]\ &Rightarrowsum_{d=1}^nsum_{k=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{kd} floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{n}{kd} floor}mu(k) imes d imes ik imes jk imes t[ikd] imes t[jkd]\ &Rightarrowsum_{s=1}^ns imessum_{kmid s}mu(k) imes k (sum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{s} floor}i imes t[is])^2 end{aligned} ]

一些解释（大佬可直接跳过）：

1. (s=kd)。
2. 结果中的平方为上面的式子中的 (i) 和 (j)，他俩其实是一样的。

最后，我们使用线性筛预处理 (sum_{kmid s}mu(k) imes k)，输入时直接处理 (t)，然后暴力就完了。

代码按照上面的暴力即可，就不给了 QVQ。