题解 P1290 【欧几里德的游戏】

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Solution 欧几里得的游戏

题目大意:有两个数(m,n)，你可以将较大的数减去较小的数的正整数倍，先得到(0)的人胜。问给定(m,n)是否有先手必胜方案

博弈论

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分析:首先可以转化成一个有向图游戏

我们定义(SG(m,n))，不妨钦定(mgeq n)那么根据题意，显然(SG(m,n)=mex{SG(m-n,n),SG(m-2n,n)dots SG(n,m\%n)})(显然(m\%n < n))

暴力计算(SG)函数复杂度过高无法承受，我们可以考虑优化，观察式子发现(SG(m-n,n),SG(m-2n,n)dots)如果一直递归下去，会得到(SG(n,m\%n))，因此我们用类似欧几里得算法的方法递归计算(题目名称给提示啊)

然后注意一点，若(lfloor frac{m}{n} floor > 1)，那么(SG(m,n) > 0)，考虑证明，如果(lfloor frac{m}{n} floor > 1),那么这个人可以取(nlfloor frac{m}{n} floor)转移到(SG(n,m\%n))，也可以取(n(lfloor frac{m}{n} floor-1))转移到(SG(m \% n + n,n))，让另一个人再取(n)，这两种情况奇偶性不同，因此总有一种状态是必败状态，所以当前状态是必胜状态

另外情况

(SG(m,0)=0)

(SG(m,n)=mex(SG(n,m\%n))=!SG(n,m\%n))(如果不是(0)就取(1)的话)

#include <cstdio>
using namespace std;
int t,n,m;
inline int min(int a,int b){return a < b ? a : b;}
inline int max(int a,int b){return a > b ? a : b;}
inline bool solve(int a,int b){
	if(!b)return false;
	if(a / b > 1)return true;
	return !solve(b,a % b);
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d %d",&n,&m);
		puts(solve(max(n,m),min(n,m)) ? "Stan wins" : "Ollie wins");
	}
	return 0;
}