题解 P4071 【[SDOI2016]排列计数】

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Solution [SDOI2016]排列计数

题目大意：问有多少个(1-n)的排列(A)恰好有(m)个数满足(A_i=i)

错排，计数

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分析：

首先我们选(m)个数有(C_n^m)种，那么我们要求答案合法就必须使得剩下的数都不满足(A_i=i)，也就是我们要求(n-m)个数错排的方案数，假设(D_n)表示(n)个数错排的方案数，我们的答案就是(C_n^m imes D_{n-m})

关键是(D)的求法，对于一个位置(n)有两种可能，前(n-1)个位置都错了，前(n-1)个位置有一个是对的，这两种情况都可以通过一次交换得到全错排情况，其它情况不行

因此(D_n=(n-1) imes(D_{n-1}+D_{n-2}))

预处理一下阶乘及其逆元，和错排数(D)即可

注意当(n=m)时答案为(1)

#include <cstdio>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7,maxn = 1e6;
typedef long long ll;
ll D[maxn + 100],fac[maxn + 100],facinv[maxn + 100];
inline ll mul(ll a,ll b){return a * b % mod;}
inline ll qpow(ll a,ll b){
	ll res = 1,base = a % mod;
	while(b){
		if(b & 1)res = mul(res,base);
		base = mul(base,base);
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
inline ll inv(ll x){return qpow(x,mod - 2);}
inline ll C(ll n,ll m){return mul(fac[n],mul(facinv[m],facinv[n - m]));}
inline void init(){
	fac[0] = 1,facinv[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= maxn;i++){
		fac[i] = mul(fac[i - 1],i);
		facinv[i] = inv(fac[i]);
	}
	D[0] = D[2] = 1;
	for(int i = 3;i <= maxn;i++)
		D[i] = mul(i - 1,D[i - 1] + D[i - 2]);
}
int t,n,m;
int main(){
	init();
	scanf("%d",&t);
	for(int i = 1;i <= t;i++)
		scanf("%d %d",&n,&m),printf("%lld
",mul(C(n,m),D[n - m]));
	return 0;
}