[POI2005]BAN-Bank Notes

题目描述：

　　Byteotian Bit Bank (BBB) 拥有一套先进的货币系统,这个系统一共有n种面值的硬币,面值分别为b1, b2,…, bn. 但是每种硬币有数量限制,现在我们想要凑出面值k求最少要用多少个硬币.

　　

　　这一题其实很容易看出是一道背包问题，为什么我NOIP2018没有想到，此题应该属于多重背包问题，我们显然可以，将f[i]定为拼出i元需要的最少钞票数，将v定为花费的钞票数，将w定为这些钞票加起来的总价值，再利用多重背包的拆分方法。上链接已述，此处不多做叙述。

但重点在于怎样记录：一开始我的想法是将每个f[i]都记录其转移的来pre[i]，输出的时候向下不断temp=pre[temp]来输出。但这样是不行的

错误代码如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    register int p(1),a(0);register char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') p=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') a=a*10+ch-48,ch=getchar();
    return a*p;
}
const int N=210,M=20010;
int n,m,f[M],b[N],biao[M][2],zh[M][N],pre[M],hole[N],c[N],temp=1;
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
    m=read();
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        temp=1;
        while((temp<<1)<=c[i]+1&&b[i]*temp<=m)
        {
            for(int j=m;j>=b[i]*temp;j--) if(f[j]>f[j-b[i]*temp]+temp)
            {
                f[j]=f[j-b[i]*temp]+temp;
                biao[j][0]=i,biao[j][1]=temp;
                pre[j]=j-b[i]*temp;
            }
            temp<<=1;
        }
        if((temp<<1)>=c[i])
        {
            temp=c[i]-temp+1;
            for(int j=m;j>=b[i]*temp;j--) if(f[j]>f[j-b[i]*temp]+temp)
            {
                f[j]=f[j-b[i]*temp]+temp;
                biao[j][0]=i,biao[j][1]=temp;
                pre[j]=j-b[i]*temp;
            }
        }
    }
    printf("%d
",f[m]);
    temp=m;
    while(temp)
    {
        printf("%d ",temp);
        hole[biao[temp][0]]+=biao[temp][1];
        temp=pre[temp];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",hole[i]); 
    return 0;
}

这样做连样例都过不了，我们考虑是为什么。首先我们考虑01背包为什么要倒叙循环，因为这样就不会重复使用同一个物品。那么此算法的错误之处就出在这里。

样例中要求拼出的数是10，有2 3 5三个数，其中5 只有一个，那么我们从f[10] ( f[m] ) 开始循环，我们首先取到5，于是我们接着我们循环f[5]这时我们就发现biao[5]在第循环5的时候被修改过了，所以它也用的是5这张钞票，但5的钞票只有一张，于是就出现错误了，显然一维无法解决这个问题了，必须用二维。此题卡空间，int[3000][20000],消耗约228MB，而此题空间上限为64MB，而如果我们使用bool类型就可以过，我们用cun[i][j]，表示在f[i][j]处是否发生转移而下一个要循环的其实是可以算出来为f[i-1][j-w[i]],就这样知道j为0为止

实现如下：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    register int p(1),a(0);register char ch=getchar();
    while((ch<'0'&&ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') p=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') a=a*10+ch-48,ch=getchar();
    return a*p;
}
const int N=210,M=20010,N2=3010;
int n,m,f[M],b[N],v[N2],w[N2],bef[N2],hole[N],c[N],temp=1,cnt=0,ji=0;
bool cun[N2][M];
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
    m=read();
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        temp=1;
        while((temp<<1)<=c[i]+1&&b[i]*temp<=m)
        {
            v[++cnt]=temp;
            w[cnt]=b[i]*temp;
            bef[cnt]=i;
            temp<<=1;
        }
        if((temp<<1)>=c[i])
        {
            temp=c[i]-temp+1;
            v[++cnt]=temp;
            w[cnt]=b[i]*temp;
            bef[cnt]=i;
            temp<<=1;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
        {
            if(f[j]>f[j-w[i]]+v[i])
            {
                f[j]=f[j-w[i]]+v[i];
                cun[i][j]=true;
            }
        }
    printf("%d
",f[m]);
    temp=m,ji=cnt;
    while(temp)
    {
        while(!cun[ji][temp]&&ji) --ji;
        temp-=w[ji];hole[bef[ji]]+=v[ji];
        --ji;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",hole[i]); 
    return 0;
}