考虑有一个确定的集合(S),想求它的第(k)大。
当然很容易直接求,但是当(S)不确定时(比如说期望下),可能不好直接统计,所以需要转换成(min)。
枚举(T in S),赋予(T)容斥系数(f(T))。
看看(f)是多少:
相当于要满足下面这个等式:
([x+1=k]=sum_{i=0}^x inom{x}{i} f(i+1))
显然可以直接反演:
设(f'(i)=f(i+1))
则([x+1=k]=sum_{i=0}^x inom{x}{i} f'(i))
(f'(x)=sum_{i=0}^x inom{x}{i}*(-1)^{x-i}*[i+1=k])
(f'(x)=inom{x}{k-1}*(-1)^{x-(k-1)})
则(f(x)=f'(x-1)=inom{x-1}{k-1}*(-1)^{x-k})
当(k=1)时即普通的min-max容斥。