个人总结-----非贪心算法的图的m着色判断及优化问题

1.问题描述：

对于著名的图的m着色，有两个主要的问题，一个是图的m色判定问题，一个是图的m色优化问题，描述如下。

　　图的m色判定问题: 给定无向连通图G和m种颜色。用这些颜色为图G的各顶点着色.问是否存在着色方法,使得G中任2邻接点有不同颜色。

　　图的m色优化问题:给定无向连通图G,为图G的各顶点着色, 使图中任2邻接点着不同颜色,问最少需要几种颜色。所需的最少颜色的数目m称为该图的色数。

　　对于网上或书上的一些求解方式主要用贪心算法求解的方式，也有用回溯法的方式(一般不用，时空太大)。如这位博主 http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/9339199 使用的贪心算法来求解上面两个问题。

　　对于该问题的贪心算法求解方式，是十分直观、易懂，而且时空复杂度低。我个人的一种方式是非贪心算法的，采用的是一种 "扫描--判断--增加" 的方式来进行求解，算法的时空复杂度类似于贪心求解的过程，且，也十分的清晰易懂。

2.对于图的m优化问题求解过程&思路："扫描--判断--增加"

　　a. 初始化：全局颜色变量 C = 0 ;代表当前整张图，可用的颜色数量有 C 种，即最大色数为 0 ；

　　b. 扫描： 对于V有n个顶点的无向连通图，从V0开始线性扫描每一个顶点。

　　c. 判断： 对于扫描到的顶点Vi，尝试使用 1 - C 的颜色(1 - C 代表每一种不同的颜色)去着Vi，并判断V0 - Vi-1 顶点中与Vi相邻的顶点是否有颜色冲突。若没有则着上该颜色。

　　d. 增加： 若对于当前扫描节点Vi，对于所有的 1 - C 的颜色都没办法着色。这时，就需要增加一种新的颜色，让C++。并对Vi 着上新C值的颜色。

　　e. 线性扫描结束。

3.对于图的m着色判断问题求解&思路

　　图的m着色判断与上面的优化问题几乎相似。只是开始的时候令颜色变量C = m 。当在 "判断"  这一步时，若无法给Vi着色，则给出不能着色的结论。若能线性扫描完毕，则给出m色能够着色的结论。

4.图的m着色的优化问题代码

下面给出个人的图的m着色的优化问题的C++代码。

#include<iostream>
#include<string.h>

#define N 5
using namespace std;

bool isCollsion(bool a[][N] ,int c[],int i , int clor);
int main(){
	bool a[N][N] = {{false,true,true,true,false},{true,false,true,true,true},{true,true,false,true,false},{true,true,true,false,true},{false,true,false,true,false}};
	int c[N];
	memset(c,-1,N*sizeof(int));
	
	int i = 0;
	int cl = 1;   //cl 为颜色库  颜色的编号从 [1 - cl] 之间选择，初始的颜色库中 只有 1 种颜色  
	int j = 0;
	for(i = 0; i < N;++i){   //遍历每一个节点 vi
		for(j = 1; j <= cl ;++j){ //对vi 节点尝试使用颜色 j来着色(1<= j <= cl)
			if(!isCollsion(a,c,i,j)){   // 若vi 着颜色j ，且与已经着色的节点(v0 - v(i-1))不发生任何着色冲突的话，就将vi着色为j
				c[i] = j;
				break;
			}
			if(c[i] == -1){  //若颜色库中所有颜色都不能为vi节点 着色的话，就增加一种颜色,cl++;并将 该颜色赋予节点i
				c[i] = ++cl;
			}
		}
	}
	
	cout<<cl<<endl;;
	return 0;
}

//检查 若vi 着颜色j ,与已经着色的节点(v0 - v(i-1)) 是否连通且不发生任何颜色冲突的话，
bool isCollsion(bool a[][N] ,int c[],int i , int clor){
	int j = 0;
	for(; j < i ;++j){
		if(a[i][j] && c[j] == clor)return true;
	}
	return false;
}

　

5.实验结果截图

6.总结

　　复习到这部分的内容后，尤其是图的几个重要算法，无不与贪心算法有关系。都是以局部最优达到全局最优。这里针对图的m着色问题本人的一个非贪心算法的示例，具有简单、易懂、时空低的特点。So...继续学习，daydayup。算法和数据结构是非常重要的基础。

参考资料

　　计算机算法设计与分析

      http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/9339199